Chào mừng các em học sinh đến với chuyên mục giải bài tập Toán 11 tập 1 của giaibaitoan.com. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập trong mục 2 trang 67, 68, 69 của sách giáo khoa Toán 11 tập 1.
Mục tiêu của chúng tôi là giúp các em nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải bài tập và tự tin hơn trong quá trình học tập môn Toán.
Cho hàm số (f(x) = left{ begin{array}{l}x + 2,x ge 1\x - 4,x < 1end{array} right.) và hai dãy số (({u_n})) và (({v_n})) với ({u_n} = 1 + frac{1}{n}), ({v_n} = 1 - frac{1}{n})
Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}x + 2,x \ge 1\\x - 4,x < 1\end{array} \right.\) và hai dãy số (\({u_n}\)) và (\({v_n}\)) với \({u_n} = 1 + \frac{1}{n}\), \({v_n} = 1 - \frac{1}{n}\)
a, So sánh \({u_n},{v_n}\) với 1 và tìm \(\lim {u_n}\), \(\lim {v_n}\).
b, Tính \(f({u_n})\) và \(f({v_n})\) theo n.
c, Tìm lim\(f({u_n})\) và lim\(f({v_n})\).
Phương pháp giải:
a, Xác định \(\lim \frac{1}{n}\) để so sánh \({u_n},{v_n}\) với 1 và tìm \(\lim {u_n}\), \(\lim {v_n}\).
b, Thay \({u_n} = 1 + \frac{1}{n}\), \({v_n} = 1 - \frac{1}{n}\) để tính \(f({u_n})\) và \(f({v_n})\).
c, Sử dụng câu a,b để tìm lim\(f({u_n})\) và lim\(f({v_n})\).
Lời giải chi tiết:
a, Ta có \(\lim \frac{1}{n} = 0\) và \(\frac{1}{n} > 0\) nên:
\({u_n} = 1 + \frac{1}{n} > 1\) và \({v_n} = 1 - \frac{1}{n} < 1\)
\(\lim {u_n} = \lim (1 + \frac{1}{n}) = 1\) và \(\lim {v_n} = \lim (1 - \frac{1}{n}) = 1\).
b, Với \({u_n} > 1\) thay x=\({u_n}\) vào f(x)=x+2 ta được:
\(f({u_n}) = {u_n} + 2 = 1 + \frac{1}{n} + 2 = 3 + \frac{1}{n}\).
Với \({v_n} < 1\) thay x=\({v_n}\) vào f(x) = x-4 ta được:
\(f({v_n}) = {v_n} - 4 = 1 - \frac{1}{n} - 4 = - 3 - \frac{1}{n}\).
c, Ta có: \(\lim f({u_n}) = \lim (3 + \frac{1}{n}) = 3\).
\(\lim f({v_n}) = \lim ( - 3 - \frac{1}{n}) = - 3\).
Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 1,x \ge 1\\\frac{{{x^2} - 1}}{{x + 1}},x < 1\end{array} \right.\). Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x)\)và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x)\)
Phương pháp giải:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f(x) = \lim ({x_n}^2 + 1)\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f(x) = \lim \frac{{{x_n}^2 - 1}}{{{x_n} + 1}}\)
Lời giải chi tiết:
Giả sử \(({x_n})\) là một dãy số bất kì mà \({x_n} > - 1\) và \(\lim {x_n} = - 1\), ta có \(f\left( {{x_n}} \right) = x_n^2 + 1\).
Vậy\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f(x)\) =\(\lim f({x_n}) = {( - 1)^2} + 1 = 2\).
Giả sử \(({x_n})\) là một dãy số bất kì mà \({x_n} < - 1\) và \(\lim {x_n} = - 1\), ta có \(f({x_n}) = \frac{{x_n^2 - 1}}{{{x_n} + 1}} = \frac{{({x_n} - 1)({x_n} + 1)}}{{{x_n} + 1}} = {x_n} - 1\)
Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f(x) = \)\(\lim f({x_n}) = - 1 - 1 = - 2\).
Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}2ax + 6,x \ge - 2\\\frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}},x < - 2\end{array} \right.\). Tìm a, biết rằng tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f(x)\)
Phương pháp giải:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} (2ax + 6) = - 4a + 6\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}}\mathop { = \lim }\limits_{x \to - {2^ - }} (x - 2) = - 4\)
Cho \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} f(x)\) để tìm giá trị của a.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} (2ax + 6) = - 4a + 6\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}}\mathop { = \lim }\limits_{x \to - {2^ - }} (x - 2) = - 4\)
Để tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f(x)\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} f(x) \Leftrightarrow - 4a + 6 = - 4 \Leftrightarrow - 4a = - 10 \Leftrightarrow a = \frac{5}{2}\)
Vậy \(a = \frac{5}{2}\).
Đồ thị hàm số \(y = f(x) = \frac{1}{{x - 2}}\) được cho trong hình 3.3
a, Nếu M(x;f(x)) là một điểm trên đồ thị, hãy dự đoán giá trị của f(x) khi x dần đến 2 theo phía phải, theo phía trái.
b, \(({x_n})\)là một dãy số bất kì mà \({x_n} < 2\) và \({\mathop{\rm l}\nolimits} {\rm{im }}{{\rm{x}}_n} = 2\).Tính \(f({x_n})\) và \(\lim f({x_n})\).
Phương pháp giải:
a, Dựa vào phần đồ thị bên phải để xác định giá trị của f(x) khi x gần đến 2 theo phía phải và phần đồ thị bên trái để xác định giá trị của f(x) khi x gần đến 2 theo phía trái.
b, Thay \(x = {x_n}\) để tính \(f({x_n})\).
Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x)\).
Lời giải chi tiết:
a, Dự đoán: Khi x gần đến 2 theo phía phải thì f(x) gần đến \( + \infty \)
Khi x gần đến 2 theo phía trái thì f(x) gần đến \( - \infty \).
b, Thay \(x = {x_n}\) vào f(x) ta được : \(f({x_n}) = \frac{1}{{{x_n} - 2}}\)
Cho dãy số \(({x_n})\) với \({x_n} > 2\) và \({\mathop{\rm l}\nolimits} {\rm{im }}{{\rm{x}}_n} = 2\), lim1=1 ta có:
\(\lim f({x_n}) = + \infty \)
Cho dãy số \(({x_n})\) với \({x_n} < 2\) và \({\mathop{\rm l}\nolimits} {\rm{im }}{{\rm{x}}_n} = 2\), lim 1=1 ta có:
\(\lim f({x_n}) = - \infty \).
Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{1}{{2 - x}}\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{1}{{x - 4}}\).
Phương pháp giải:
Áp dụng định lí \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} \frac{1}{{x - a}} = + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} \frac{1}{{x - a}} = - \infty \) với mọi số thực a.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{1}{{2 - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{ - 1}}{{x - 2}} = + \infty \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{1}{{x - 4}} = + \infty \)
Mục 2 của SGK Toán 11 tập 1 thường tập trung vào một chủ đề cụ thể trong chương trình học. Để giải quyết các bài tập trong mục này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững lý thuyết, công thức và phương pháp giải liên quan. Bài viết này sẽ đi sâu vào từng bài tập, cung cấp lời giải chi tiết và phân tích các bước thực hiện.
Bài tập 1 thường yêu cầu học sinh sử dụng đạo hàm để tìm cực trị của hàm số. Để giải bài tập này, các em cần thực hiện các bước sau:
Bài tập 2 thường yêu cầu học sinh khảo sát hàm số bậc ba, bao gồm việc xác định điểm uốn, khoảng lồi, khoảng lõm. Các bước thực hiện:
Bài tập 3 thường là một bài toán thực tế, yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết. Ví dụ, bài toán có thể liên quan đến việc tối ưu hóa lợi nhuận, chi phí hoặc tìm tốc độ thay đổi của một đại lượng nào đó.
Để giải bài toán này, các em cần:
Khi giải các bài tập trong mục 2, các em cần lưu ý những điều sau:
Giả sử chúng ta có hàm số y = x3 - 3x2 + 2. Để khảo sát hàm số này, chúng ta thực hiện các bước sau:
Hy vọng rằng bài viết này đã cung cấp cho các em những kiến thức và kỹ năng cần thiết để giải quyết các bài tập trong mục 2 trang 67, 68, 69 SGK Toán 11 tập 1. Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!
