Lý thuyết Dãy số - SGK Toán 11 Cùng khám phá

Lý thuyết Dãy số - SGK Toán 11: Nền tảng vững chắc cho Toán học

Chào mừng bạn đến với chuyên mục Lý thuyết Dãy số - SGK Toán 11 của giaibaitoan.com. Đây là một trong những chủ đề quan trọng bậc nhất trong chương trình Toán học lớp 11, đặt nền móng cho các kiến thức nâng cao hơn về giải tích và các ứng dụng thực tế.

Chúng tôi cung cấp đầy đủ và chi tiết các kiến thức về dãy số, bao gồm định nghĩa, các loại dãy số đặc biệt (cấp số cộng, cấp số nhân), giới hạn của dãy số và các ứng dụng của chúng. Mục tiêu của chúng tôi là giúp bạn hiểu sâu sắc và áp dụng thành thạo các kiến thức này.

1. Dãy số

1. Dãy số

Dãy số vô hạn

- Một hàm số\(u = u\left( n \right)\) xác định trên tập các số nguyên dương \({\mathbb{N}^*}\) được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số).

Kí hiệu là \(u\left( n \right) = {u_n}\) hay dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\).

- Một hàm số \(u = u\left( n \right)\) xác định trên tập \(M = \left\{ {1;2;3;...;m} \right\},m \in {\mathbb{N}^*}\) được gọi là một dãy số hữu hạn.

*Nhận xét:

- Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được viết dưới dạng khai triển \({u_1},{u_2},{u_3},...,{u_n},...\) Số \({u_1}\) là số hạng đầu; \({u_n}\) là số hạng thứ n và gọi là số hạng tổng quát của dãy số; n được gọi là chỉ số.

- Dạng khai triển của dãy số hữu hạn là \({u_1},{u_2},{u_3},...,{u_m}\). Trong đó, số \({u_1}\) gọi là số hạng đầu, \({u_m}\) là số hạng cuối.

II. Cách cho một dãy số

Một dãy số có thể cho bằng:

Liệt kê các số hạng (với các dãy hữu hạn).
Công thức của số hạng tổng quát \({u_n}\).
Phương pháp truy hồi:

- Cho số hạng thứ nhất \({u_1}\) (hoặc một vài số hạng đầu tiên)

- Cho một công thức tính \({u_n}\) theo\({u_{n - 1}}\) (hoặc theo vài số hạng đứng ngay trước nó).

Phương pháp mô tả.

III. Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn

1. Dãy số tăng, dãy số giảm

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số tăng nếu ta có \({u_{n + 1}} > {u_n}\)\(,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số giảm nếu ta có \({u_{n + 1}} < {u_n}\)\(,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

2. Dãy số bị chặn

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn trên nếu \(\exists \) số M sao cho \({u_n} \le M,\) \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn dưới nếu \(\exists \) số m sao cho \({u_n} \ge m,\) \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho \(m \le {u_n} \le M,\)\(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

Lý thuyết Dãy số - SGK Toán 11 Cùng khám phá 1

Chinh phục đỉnh cao Toán 11 và đặt nền móng vững chắc cho cánh cửa Đại học với nội dung Lý thuyết Dãy số - SGK Toán 11 Cùng khám phá trong chuyên mục Ôn tập Toán lớp 11 trên nền tảng đề thi toán! Bộ bài tập toán trung học phổ thông, được biên soạn chuyên sâu, bám sát chặt chẽ chương trình Toán lớp 11 và định hướng các kỳ thi quan trọng, cam kết tối ưu hóa toàn diện quá trình ôn luyện. Qua đó, học sinh không chỉ làm chủ kiến thức phức tạp mà còn rèn luyện tư duy giải quyết vấn đề, sẵn sàng cho các kỳ thi và chương trình đại học, nhờ phương pháp tiếp cận trực quan, logic và mang lại hiệu quả học tập vượt trội.

Lý thuyết Dãy số - SGK Toán 11: Tổng quan và các khái niệm cơ bản

Dãy số là một tập hợp hữu hạn hoặc vô hạn các số thực được sắp xếp theo một thứ tự nhất định. Trong chương trình Toán 11, việc nắm vững lý thuyết dãy số là vô cùng quan trọng, không chỉ để giải quyết các bài tập trong sách giáo khoa mà còn là nền tảng cho các kiến thức nâng cao hơn trong chương trình học.

1. Định nghĩa dãy số

Một dãy số (u_n) là một hàm số xác định trên tập hợp các số tự nhiên N hoặc một tập hợp con của N và có giá trị là các số thực. Ký hiệu: (u_n) = u₁, u₂, u₃,... u_n,...

2. Các loại dãy số

Dãy số hữu hạn: Dãy số có số lượng phần tử hữu hạn. Ví dụ: 1, 2, 3, 4, 5
Dãy số vô hạn: Dãy số có số lượng phần tử vô hạn. Ví dụ: 1, 2, 3, 4, 5,...
Dãy số tăng: Dãy số mà u_n+1 > u_n với mọi n.
Dãy số giảm: Dãy số mà u_n+1 < u_n với mọi n.
Dãy số không đổi: Dãy số mà u_n+1 = u_n với mọi n.

Cấp số cộng

Cấp số cộng là một dãy số mà mỗi số hạng sau được tạo thành bằng cách cộng một số không đổi (công sai) vào số hạng đứng trước. Công thức tổng quát của cấp số cộng là: u_n = u₁ + (n-1)d, trong đó u₁ là số hạng đầu tiên, d là công sai.

Công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng

S_n = n/2 * (u₁ + u_n) hoặc S_n = n/2 * [2u₁ + (n-1)d]

Cấp số nhân

Cấp số nhân là một dãy số mà mỗi số hạng sau được tạo thành bằng cách nhân số hạng đứng trước với một số không đổi (tỉ số). Công thức tổng quát của cấp số nhân là: u_n = u₁ * q^(n-1), trong đó u₁ là số hạng đầu tiên, q là tỉ số.

Công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân

Nếu q ≠ 1: S_n = u₁ * (1 - qⁿ) / (1 - q)

Nếu q = 1: S_n = n * u₁

Giới hạn của dãy số

Giới hạn của dãy số là giá trị mà các số hạng của dãy số tiến tới khi n tiến tới vô cùng. Việc tìm giới hạn của dãy số là một trong những bài toán quan trọng trong giải tích.

Các dạng giới hạn thường gặp

lim (1/n) = 0 khi n → ∞
lim (c/n^k) = 0 khi n → ∞ (với c là hằng số và k > 0)

Ứng dụng của lý thuyết dãy số

Lý thuyết dãy số có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như:

Tính lãi kép: Sử dụng cấp số nhân để tính số tiền lãi sau một thời gian nhất định.
Mô hình tăng trưởng dân số: Sử dụng dãy số để mô tả sự tăng trưởng dân số theo thời gian.
Giải các bài toán về hình học: Sử dụng dãy số để tính diện tích, chu vi của các hình đa giác đều khi số cạnh tăng dần.