Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản, chương trình Toán 11. Bài viết này được thiết kế để cung cấp cho bạn một nền tảng vững chắc về các khái niệm, công thức và phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản theo chương trình SGK Toán 11.
Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá các loại phương trình lượng giác thường gặp, cách biến đổi và tìm nghiệm của chúng. Giaibaitoan.com cam kết mang đến cho bạn những kiến thức chính xác, dễ hiểu và hữu ích nhất.
I. Phương trình tương đương
I. Phương trình tương đương
1. Khái niệm phương trình tương đương
- Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.
- Nếu phương trình f(x) =0 tương đương với phương trình g(x) =0 thì ta viết \(f(x) = 0 \Leftrightarrow g(x) = 0\)
2. Các phép biến đổi tương đương
- Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức.
- Nhân hoặc chia 2 vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0.
II. Phương trình lượng giác cơ bản
1. Phương trình \({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} = m\)
Phương trình sinx = m có nghiệm khi và chỉ khi \( - 1 \le m \le 1\).
Khi \( - 1 \le m \le 1\)sẽ tồn tại duy nhất \(\alpha \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) thoả mãn \(\sin \alpha = m\). Khi đó:
\({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} = m \Leftrightarrow \sin x = \sin \alpha \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
* Chú ý:
a, Nếu số đo của góc \(\alpha \)được cho bằng đơn vị độ thì \(\sin x = \sin {\alpha ^o} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {\alpha ^o} + k{360^o}\\x = {180^o} - {\alpha ^o} + k{360^o}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
b,Một số trường hợp đặc biệt
\(\begin{array}{l}\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\\\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\\\sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\end{array}\)
2. Phương trình \({\rm{cosx}} = m\)
Phương trình \({\rm{cosx}} = m\) có nghiệm khi và chỉ khi\( - 1 \le m \le 1\).
Khi \( - 1 \le m \le 1\)sẽ tồn tại duy nhất \(\alpha \in \left[ {0;\pi } \right]\) thoả mãn \({\rm{cos}}\alpha = m\). Khi đó:
\({\rm{cosx}} = m \Leftrightarrow {\rm{cosx}} = {\rm{cos}}\alpha \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
* Chú ý:
a, Nếu số đo của góc \(\alpha \)được cho bằng đơn vị độ thì \(\cos x = \cos {\alpha ^o} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {\alpha ^o} + k{360^o}\\x = - {\alpha ^o} + k{360^o}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
b, Một số trường hợp đặc biệt
\(\begin{array}{l}{\rm{cos}}x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\\{\rm{cos}}x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\\{\rm{cos}}x = - 1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\end{array}\)
3. Phương trình \(\tan x = m\)
Phương trình \(\tan x = m\) có nghiệm với mọi m.
Với mọi \(m \in \mathbb{R}\), tồn tại duy nhất \(\alpha \in \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) thoả mãn \(\tan \alpha = m\). Khi đó:
\(\tan {\rm{x}} = m \Leftrightarrow \tan x = \tan \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
*Chú ý: Nếu số đo của góc \(\alpha \)được cho bằng đơn vị độ thì
\(\tan x = \tan {\alpha ^o} \Leftrightarrow x = {\alpha ^o} + k{180^o},k \in \mathbb{Z}.\)
4. Phương trình \(\cot x = m\)
Phương trình \(\cot x = m\) có nghiệm với mọi m.
Với mọi \(m \in \mathbb{R}\), tồn tại duy nhất \(\alpha \in \left( {0;\pi } \right)\) thoả mãn \(\cot \alpha = m\). Khi đó:
\(\cot {\rm{x}} = m \Leftrightarrow \cot x = \cot \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
*Chú ý: Nếu số đo của góc \(\alpha \)được cho bằng đơn vị độ thì
\(\cot x = \cot {\alpha ^o} \Leftrightarrow x = {\alpha ^o} + k{180^o},k \in \mathbb{Z}.\)
III. Giải phương trình lượng giác cơ bản bằng máy tính cầm tay
Bước 1. Chọn đơn vị đo góc (độ hoặc radian).
Muốn tìm số đo độ, ta ấn: SHIFT \( \to \)MODE \( \to \)3 (CASIO FX 570VN).
Muốn tìm số đo radian, ta ấn: SHIFT \( \to \)MODE \( \to \)4 (CASIO FX 570VN).
Bước 2. Tìm số đo góc.
Khi biết SIN, COS, TANG của góc \(\alpha \)ta cần tìm bằng m, ta lần lượt ấn các phím SHIFT và một trong các phím SIN, COS, TANG rồi nhập giá trị lượng giác m và cuối cùng ấn phím “BẰNG =”. Lúc này trên màn hình cho kết quả là số đo của góc \(\alpha \)
Phương trình lượng giác là một phần quan trọng trong chương trình Toán 11, đóng vai trò nền tảng cho các kiến thức nâng cao hơn về lượng giác và các ứng dụng của nó. Việc nắm vững lý thuyết và phương pháp giải phương trình lượng giác là điều cần thiết để đạt kết quả tốt trong các kỳ thi và ứng dụng vào thực tế.
1. Góc lượng giác: Góc lượng giác là góc tạo bởi tia Ox và tia OM, với M là một điểm trên đường tròn lượng giác. Số đo của góc lượng giác thường được biểu diễn bằng độ hoặc radian.
2. Đường tròn lượng giác: Đường tròn lượng giác là đường tròn đơn vị (bán kính bằng 1) trên mặt phẳng tọa độ, với tâm tại gốc tọa độ O.
3. Hàm số lượng giác: Các hàm số lượng giác cơ bản bao gồm sin, cos, tan, cot, được định nghĩa dựa trên tọa độ của điểm M trên đường tròn lượng giác.
1. Đưa phương trình về dạng cơ bản: Sử dụng các công thức lượng giác để biến đổi phương trình về một trong các dạng cơ bản đã nêu ở trên.
2. Giải phương trình: Áp dụng các công thức nghiệm tương ứng với từng dạng phương trình.
3. Kiểm tra nghiệm: Đảm bảo rằng các nghiệm tìm được không làm mẫu số của các phân thức lượng giác bằng 0 và thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.
Ví dụ 1: Giải phương trình sin(x) = 1/2
Giải:
x = arcsin(1/2) + k2π = π/6 + k2π hoặc x = π - arcsin(1/2) + k2π = 5π/6 + k2π, k ∈ Z
Ví dụ 2: Giải phương trình cos(x) = -√3/2
Giải:
x = arccos(-√3/2) + k2π = 5π/6 + k2π hoặc x = -arccos(-√3/2) + k2π = 7π/6 + k2π, k ∈ Z
Để nắm vững kiến thức về phương trình lượng giác cơ bản, bạn nên luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau. Giaibaitoan.com cung cấp một hệ thống bài tập phong phú và đa dạng, giúp bạn rèn luyện kỹ năng giải toán và củng cố kiến thức đã học.
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích về Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản - SGK Toán 11. Chúc bạn học tập tốt!
