Bài 1.17 trang 19 SGK Toán 11 tập 1 là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 11. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về phép biến hóa lượng giác để giải quyết các bài toán cụ thể.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho Bài 1.17 trang 19 SGK Toán 11 tập 1, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Chứng minh các đẳng thức sau (giả sử các biểu thức đều có nghĩa):
Đề bài
Chứng minh các đẳng thức sau (giả sử các biểu thức đều có nghĩa):
a) \({\cos ^4}\alpha - {\sin ^4}\alpha = \cos 2\alpha ;\)
b) \(\sin \left( {a + b} \right)\sin \left( {a - b} \right) = {\cos ^2}b - {\cos ^2}a;\)
c) \(\frac{{\sin a + \sin 2a}}{{1 + \cos a + \cos 2a}} = \tan a.\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Biến đổi vế trái (thường là vế phức tạp hơn) thành vế phải (thường là vế đơn giản hơn).
Áp dụng công thức nhân đôi, công thức biến tích thành tổng.
Lời giải chi tiết
a)
\(\begin{array}{l}{\cos ^4}\alpha - {\sin ^4}\alpha = {\left( {{{\cos }^2}\alpha } \right)^2} - {\left( {{{\sin }^2}\alpha } \right)^2}\\ = \left( {{{\cos }^2}\alpha - {{\sin }^2}\alpha } \right)\left( {{{\cos }^2}\alpha + {{\sin }^2}\alpha } \right)\\ = \cos 2\alpha .1 = \cos 2\alpha \end{array}\)
b)
\(\begin{array}{l}\sin \left( {a + b} \right)\sin \left( {a - b} \right) = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a + b - a + b} \right) - \cos \left( {a + b + a - b} \right)} \right]\\ = \frac{1}{2}\left( {\cos 2b - \cos 2a} \right) = \frac{1}{2}\left( {2{{\cos }^2}b - 1 - 2{{\cos }^2}a + 1} \right)\\ = \frac{1}{2}\left( {2{{\cos }^2}b - 2{{\cos }^2}a} \right) = {\cos ^2}b - {\cos ^2}a\end{array}\)
c)
\(\begin{array}{l}\frac{{\sin a + \sin 2a}}{{1 + \cos a + \cos 2a}} = \frac{{\sin a + 2\sin a\cos a}}{{1 + \cos a + 2{{\cos }^2}a - 1}}\\ = \frac{{\sin a\left( {1 + 2\cos a} \right)}}{{\cos a + 2{{\cos }^2}a}} = \frac{{\sin a\left( {1 + 2\cos a} \right)}}{{\cos a\left( {1 + 2\cos a} \right)}}\\ = \frac{{\sin a}}{{\cos a}} = \tan a\end{array}\)
Bài 1.17 trang 19 SGK Toán 11 tập 1 thuộc chương trình Đại số và Giải tích lớp 11, tập trung vào việc vận dụng các công thức lượng giác cơ bản để chứng minh các đẳng thức và giải các bài toán liên quan đến góc và cạnh của tam giác.
Bài 1.17 yêu cầu học sinh chứng minh các đẳng thức lượng giác sau:
Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững các công thức cộng góc trong lượng giác. Việc chứng minh các đẳng thức này thường được thực hiện bằng cách biến đổi vế trái về vế phải hoặc ngược lại, sử dụng các công thức lượng giác đã học.
Chứng minh đẳng thức 1: sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
Ta có:
sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b (đây là công thức cộng góc đã được chứng minh trong SGK)
Vậy, đẳng thức được chứng minh.
Chứng minh đẳng thức 2: cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b
Ta có:
cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b (đây là công thức cộng góc đã được chứng minh trong SGK)
Vậy, đẳng thức được chứng minh.
Chứng minh đẳng thức 3: tan(a + b) = (tan a + tan b) / (1 - tan a tan b)
Ta có:
tan(a + b) = sin(a + b) / cos(a + b)
Sử dụng các công thức cộng góc đã chứng minh ở trên, ta có:
tan(a + b) = (sin a cos b + cos a sin b) / (cos a cos b - sin a sin b)
Chia cả tử và mẫu cho cos a cos b, ta được:
tan(a + b) = (sin a / cos a + sin b / cos b) / (1 - sin a / cos a * sin b / cos b)
tan(a + b) = (tan a + tan b) / (1 - tan a tan b)
Vậy, đẳng thức được chứng minh.
Bài tập về công thức cộng góc có ứng dụng rộng rãi trong việc giải các bài toán lượng giác, đặc biệt là trong việc tính toán các giá trị lượng giác của các góc đặc biệt và giải các phương trình lượng giác.
Để củng cố kiến thức về công thức cộng góc, học sinh có thể làm thêm các bài tập tương tự trong SGK và các tài liệu tham khảo khác.
Bài 1.17 trang 19 SGK Toán 11 tập 1 là một bài tập quan trọng giúp học sinh hiểu sâu hơn về công thức cộng góc trong lượng giác. Việc nắm vững kiến thức này sẽ giúp các em giải quyết các bài toán lượng giác một cách hiệu quả và chính xác.
| Công thức | Mô tả |
|---|---|
| sin(a + b) | sin a cos b + cos a sin b |
| cos(a + b) | cos a cos b - sin a sin b |
| tan(a + b) | (tan a + tan b) / (1 - tan a tan b) |
