Chào mừng các em học sinh đến với chuyên mục giải bài tập Toán 11 tập 2 của giaibaitoan.com. Ở đây, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho tất cả các bài tập trong SGK, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong học tập.
Mục 2 của chương trình Toán 11 tập 2 thường tập trung vào các kiến thức quan trọng về phép đếm, quy tắc cộng, quy tắc nhân và các ứng dụng của chúng.
Quan sát khối rubik hình lập phương (Hình 8.33).
Quan sát khối rubik hình lập phương (Hình 8.33).
a) Hãy tính số đo của các góc nhị diện tạo bởi mặt đỏ và mặt xanh; mặt trắng và mặt xanh; mặt trắng và mặt đỏ.
b) Có hay không một đường thẳng a nằm trong mặt xanh và vuông góc với mặt đỏ?
Phương pháp giải:
Quan sát hình vẽ.
Lời giải chi tiết:
a) Số đo giữa các góc nhị diện tạo bởi mặt đỏ và mặt xanh, mặt trắng và mặt xanh, mặt trắng và mặt đỏ đều bằng \({90^0}\).
b) Có đường thẳng nằm trong mặt xanh và vuông góc với mặt đỏ.
Đặt cây bút chì d vuông góc với mặt bàn \(\left( \alpha \right)\) và đặt một tấm bia cứng hình chữ nhật \(\left( \beta \right)\) sao cho thân bút chì nằm trong tấm bìa (Hình 8.34). Ta có hình ảnh đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) chứa d. Gọi a là giao tuyến của \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\). Qua giao điểm O của a và d, vẽ một dường thẳng d’ nằm trong \(\left( \alpha \right)\) và vuông góc với a. Hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\)và \(\left( \beta \right)\) có vuông góc nhau không? Vì sao?
Phương pháp giải:
2 mặt phẳng vuông góc với nhau nếu một trong bốn nhị diện được tạo bởi 2 mặt vuông góc với nhau.
Lời giải chi tiết:
Hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\)và \(\left( \beta \right)\) có vuông góc nhau. Vì nhị diện tạo bởi 2 mặt phẳng này là nhị diện vuông.
Cho hình chóp S.ABC có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) và tam giác ABC vuông tại B. Tìm các cặp mặt phẳng vuông góc với nhau.
Phương pháp giải:
Hai mặt phẳng vuông góc với nhau nếu mặt phẳng này có chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
Lời giải chi tiết:
\(SA \bot \left( {ABC} \right)\) nên (SAB), (SAC) vuông góc với (ABC).
AB vuông góc với AC, SA vuông góc với AB nên AB vuông góc với (SAC)
Suy ra (SAB) và (SAC) vuông góc với nhau.
Trong phòng khách của một căn nhà, bức tường và nền nhà vuông góc nhau. Họa sĩ về một hàng cây trên bức tường với thân cây vuông góc với gờ của mảng gỗ ép sát bức tường (Hình 8.37). Các cây này có vuông góc với nền nhà không? Vì sao?
Phương pháp giải:
Đường thẳng d vuông góc với (P) nếu d vuông góc với 2 đường thẳng cắt nhau thuộc (P).
Lời giải chi tiết:
Các cây này có vuông góc với nền nhà. Vì các cây vuông góc với mép tường và các đường kẻ trên nền.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Chứng minh tam giác SCD cân tại S.
Phương pháp giải:
Cho 2 mặt phẳng vuông góc với nhau, mỗi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến đều vuông góc với mặt phẳng kia.
Chứng minh: SC = SD.
Lời giải chi tiết:
Gọi E là trung điểm của AB nên SE vuông góc với AB
Suy ra SE vuông góc với (ABCD)
\( \Rightarrow \)SE vuông góc với ED, EC nên tam giác SED vuông tại E, tam giác SEC vuông tại E
ABCD là hình vuông nên AB vuông góc với AD, BD. Suy ra tam giác AEB vuông tại A, BEC vuông tại B
Ta có: \(SD = \sqrt {S{E^2} + E{D^2}} = \sqrt {S{E^2} + A{E^2} + A{D^2}} \)
\(SC = \sqrt {S{E^2} + E{C^2}} = \sqrt {S{E^2} + B{E^2} + B{C^2}} \)
Mà: AE = BE, AD = BC nên SD = SC
Suy ra SCD cân tại S.
Cho hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), \(\left( \beta \right)\) cắt nhau theo giao tuyến d và cùng vuông góc với mặt phẳng \(\left( \gamma \right)\). A là một điểm chung của \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\). Gọi a là đường thẳng qua A và vuông góc \(\left( \gamma \right)\).
a) a có thuộc mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) không? Vì sao?
b) a có thuộc mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) không? Vì sao?
c) Từ đó, có kết luận gì về quan hệ giữa d và \(\left( \gamma \right)\).
Phương pháp giải:
2 đường thẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song hoặc trùng nhau.
Lời giải chi tiết:
a) a và d cùng vuông góc với \(\left( \gamma \right)\). Suy ra a và d trùng nhau hoặc song song với nhau.
Mà A là điểm chung của \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\). Suy ra A phải thuộc d.
Mặt khác, A cũng thuộc a. Suy ra a chính là đường thẳng d.
b) a và đường thẳng d nên a thuộc \(\left( \beta \right)\)
c) a chính là d. Suy ra d vuông góc với \(\left( \gamma \right)\).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Chứng minh rằng \(\left( {SAC} \right) \bot \left( {SBD} \right)\).
Phương pháp giải:
Nếu 2 mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba.
Nếu một đường thẳng vuông góc với 2 đường thẳng cắt nhau cùng nằm trong một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy.
Lời giải chi tiết:
\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SBD} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SO\end{array} \right. \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\)
\( \Rightarrow SO \bot BD\)
Mà: \(AC \bot BD\)
\( \Rightarrow \left( {SAC} \right) \bot BD\)
\( \Rightarrow \left( {SAC} \right) \bot \left( {SBD} \right)\)
Mục 2 trong SGK Toán 11 tập 2 thường xoay quanh các bài toán về hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp. Đây là những khái niệm nền tảng trong lĩnh vực đếm và xác suất thống kê, đóng vai trò quan trọng trong nhiều môn học khác như Vật lý, Hóa học và Kinh tế.
Hoán vị là một cách sắp xếp các phần tử của một tập hợp theo một thứ tự nhất định. Số hoán vị của n phần tử được ký hiệu là Pn và được tính theo công thức:
Pn = n!
Ví dụ: Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 cuốn sách khác nhau trên một kệ sách?
Giải: Số cách sắp xếp là P3 = 3! = 3 x 2 x 1 = 6
Chỉnh hợp là một cách chọn và sắp xếp k phần tử từ một tập hợp gồm n phần tử. Số chỉnh hợp của n phần tử lấy k được ký hiệu là Ank và được tính theo công thức:
Ank = n! / (n - k)!
Ví dụ: Có bao nhiêu cách chọn và sắp xếp 2 học sinh từ một lớp 10 học sinh để làm nhiệm vụ?
Giải: Số cách chọn và sắp xếp là A102 = 10! / (10 - 2)! = 10! / 8! = 10 x 9 = 90
Tổ hợp là một cách chọn k phần tử từ một tập hợp gồm n phần tử mà không quan tâm đến thứ tự. Số tổ hợp của n phần tử lấy k được ký hiệu là Cnk và được tính theo công thức:
Cnk = n! / (k! * (n - k)!)
Ví dụ: Có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh từ một lớp 10 học sinh để thành lập một nhóm?
Giải: Số cách chọn là C103 = 10! / (3! * 7!) = (10 x 9 x 8) / (3 x 2 x 1) = 120
Dưới đây là lời giải chi tiết cho các bài tập trong mục 2, trang 65, 66, 67, 68 SGK Toán 11 tập 2:
(Nội dung bài tập và lời giải chi tiết)
(Nội dung bài tập và lời giải chi tiết)
(Nội dung bài tập và lời giải chi tiết)
(Nội dung bài tập và lời giải chi tiết)
Các khái niệm về hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của đời sống và khoa học, bao gồm:
Hy vọng với những kiến thức và lời giải chi tiết trên, các em sẽ hiểu rõ hơn về mục 2 SGK Toán 11 tập 2 và tự tin giải các bài tập liên quan. Chúc các em học tập tốt!
