Bài 4. Phương trình và bất phương trình mũ

Bài 4. Phương trình và bất phương trình mũ - Giải Toán 11 Tập 2

Bài 4 trong chương trình Giải Toán 11 tập 2, thuộc Chương VI: Hàm số mũ và hàm số lôgarit, tập trung vào việc giải quyết các phương trình và bất phương trình mũ. Đây là một chủ đề quan trọng, đòi hỏi học sinh phải nắm vững các tính chất của hàm số mũ và các phương pháp giải phù hợp.

I. Lý thuyết cơ bản

1. Phương trình mũ: Phương trình mũ là phương trình có chứa ẩn số trong số mũ. Dạng tổng quát của phương trình mũ là: a^x = b (với a > 0, a ≠ 1).

2. Bất phương trình mũ: Bất phương trình mũ là bất phương trình có chứa ẩn số trong số mũ. Dạng tổng quát của bất phương trình mũ là: a^x > b (với a > 0, a ≠ 1).

3. Các tính chất quan trọng:

• Nếu a > 1 thì a^x > b ⇔ x > log_ab
• Nếu 0 < a < 1 thì a^x > b ⇔ x < log_ab

II. Các phương pháp giải phương trình mũ

1. Đưa về cùng cơ số: Đây là phương pháp phổ biến nhất. Nếu có thể đưa cả hai vế của phương trình về cùng một cơ số thì ta có thể giải bằng cách cho số mũ bằng nhau.
2. Lấy logarit hai vế: Nếu không thể đưa về cùng cơ số, ta có thể lấy logarit hai vế của phương trình với một cơ số bất kỳ (thường là logarit thập phân hoặc logarit tự nhiên).
3. Đặt ẩn phụ: Trong một số trường hợp, ta có thể đặt ẩn phụ để đơn giản hóa phương trình.

III. Các phương pháp giải bất phương trình mũ

1. Đưa về cùng cơ số: Tương tự như phương trình mũ, ta cố gắng đưa về cùng cơ số.
2. Xét hàm số mũ: Xét hàm số f(x) = a^x và xác định tính đơn điệu của hàm số để giải bất phương trình.
3. Lấy logarit hai vế: Lưu ý rằng khi lấy logarit hai vế của một bất phương trình, ta cần chú ý đến cơ số của logarit.

IV. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải phương trình 2^x = 8

Ta có 8 = 2³, vậy phương trình trở thành 2^x = 2³. Suy ra x = 3.

Ví dụ 2: Giải bất phương trình 3^x > 27

Ta có 27 = 3³, vậy bất phương trình trở thành 3^x > 3³. Vì cơ số 3 > 1, nên x > 3.

Ví dụ 3: Giải phương trình 4^x - 5.2^x + 4 = 0

Đặt t = 2^x (t > 0). Phương trình trở thành t² - 5t + 4 = 0. Giải phương trình bậc hai, ta được t = 1 hoặc t = 4. Nếu t = 1 thì 2^x = 1, suy ra x = 0. Nếu t = 4 thì 2^x = 4, suy ra x = 2. Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0 và x = 2.

V. Bài tập tự luyện

1. Giải phương trình: 5^x = 125
2. Giải bất phương trình: (1/2)^x < 1/8
3. Giải phương trình: 9^x - 6.3^x + 9 = 0

Hy vọng bài học này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về phương trình và bất phương trình mũ. Hãy luyện tập thường xuyên để nắm vững kiến thức và kỹ năng giải quyết các bài toán liên quan.