Chào mừng bạn đến với chuyên mục Lý thuyết Phương trình và bất phương trình mũ của chương trình Toán 11. Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp kiến thức nền tảng vững chắc, giúp bạn hiểu rõ các khái niệm, định lý và phương pháp giải quyết các bài toán liên quan.
Chuyên mục này được thiết kế để hỗ trợ tối đa quá trình học tập của bạn, từ việc nắm vững lý thuyết cơ bản đến việc áp dụng vào giải các bài tập thực tế trong SGK Toán 11.
1. Phương trình mũ cơ bản Phương trình mũ cơ bản có dạng
A. Lý thuyết
1. Phương trình mũ cơ bản
Phương trình mũ cơ bản có dạng \({a^x} = b\) \((a > 0,a \ne 1)\).
Cho phương trình \({a^x} = b\) \((a > 0,a \ne 1)\): - Nếu b > 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất \(x = {\log _a}b\). - Nếu \(b \le 0\) thì phương trình vô nghiệm. |
Lưu ý: Với a > 0 và \(a \ne 1\) và \(b = {a^\alpha }\) thì phương trình \({a^x} = b\) trở thành \({a^x} = {a^\alpha }\). Khi đó phương trình có nghiệm duy nhất \(x = \alpha \). Một cách tổng quát, với a > 0 và \(a \ne 1\) , ta có:
\({a^{A(x)}} = {a^{B(x)}} \Leftrightarrow A(x) = B(x)\).
2. Bất phương trình mũ cơ bản
Bất phương trình mũ cơ bản có dạng \({a^x} > b\) hoặc \({a^x} \ge b\), \({a^x} < b\), \({a^x} \le b\) \((a > 0,a \ne 1)\).
Cho bất phương trình \({a^x} > b\) \((a > 0,a \ne 1)\): - Nếu \(b \le 0\) thì bất phương trình nghiệm đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}\). - Nếu b > 0 và: + a > 1: Ta có \({a^x} > b \Leftrightarrow x > {\log _a}b\). + 0 < a < 1: Ta có \({a^x} > b \Leftrightarrow x < {\log _a}b\). |
Lưu ý:
Giải tương tự cho các trường hợp còn lại: \({a^x} \ge b\), \({a^x} < b\), \({a^x} \le b\).
Với a > 0, \(a \ne 1\) và \(b = {a^\alpha }\) thì bất phương trình \({a^x} > b\) trở thành \({a^x} > {a^\alpha }\). Khi đó:
- Nếu a > 1 thì \({a^x} > {a^\alpha } \Leftrightarrow x > \alpha \).
- Nếu 0 < a < 1 thì \({a^x} > {a^\alpha } \Leftrightarrow x < \alpha \).
Một cách tổng quát, ta có:
- Khi a > 1 thì \({a^{A(x)}} > {a^{B(x)}} \Leftrightarrow A(x) > B(x)\).
- Khi 0 < a < 1 thì \({a^{A(x)}} > {a^{B(x)}} \Leftrightarrow A(x) < B(x)\).
B. Bài tập
Bài 1: Giải các phương trình:
a) \({3^{x + 1}} = \frac{1}{9}\).
b) \({2^{2x - 1}} + {4^{x + 1}} = 5\).
Giải:
a) \({3^{x + 1}} = \frac{1}{9} \Leftrightarrow x + 1 = {\log _3}\frac{1}{9} \Leftrightarrow x + 1 = - 2 \Leftrightarrow x = - 3\).
Vậy phương trình có nghiệm là x = -3.
b) \({2^{2x - 1}} + {4^{x + 1}} = 5 \Leftrightarrow \frac{1}{2}{.4^x} + {4.4^x} = 5 \Leftrightarrow \frac{9}{2}{.4^x} = 5 \Leftrightarrow {4^x} = \frac{{10}}{9} \Leftrightarrow x = {\log _4}\frac{{10}}{9}\).
Vậy phương trình có nghiệm là \(x = {\log _4}\frac{{10}}{9}\).
Bài 2: Giải các bất phương trình:
a) \({2^x} \ge \frac{1}{{32}}\).
b) \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{x + 1}} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{x - 1}} > 15\).
Giải:
a) Vì cơ số 2 lớn hơn 1 nên \({2^x} \ge \frac{1}{{32}} \Leftrightarrow x \ge {\log _2}\frac{1}{{32}} \Leftrightarrow x \ge - 5\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \([ - 5; + \infty )\).
b) \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{x + 1}} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{x - 1}} > 15 \Leftrightarrow \frac{1}{2}.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} + 2.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} > 15 \Leftrightarrow \frac{5}{2}.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} > 15 \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} > 6 \Leftrightarrow x < {\log _{\frac{1}{2}}}6\) (do cơ số \(\frac{1}{2} < 1\)).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(( - \infty ;{\log _{\frac{1}{2}}}6)\).
Phương trình và bất phương trình mũ là một phần quan trọng trong chương trình Toán 11, đóng vai trò nền tảng cho các kiến thức nâng cao hơn trong chương trình học. Việc nắm vững lý thuyết và phương pháp giải quyết các bài toán liên quan là điều cần thiết để đạt kết quả tốt trong các kỳ thi.
1. Phương trình mũ: Phương trình mũ là phương trình có chứa ẩn số ở số mũ. Dạng tổng quát của phương trình mũ là: ax = b (với a > 0, a ≠ 1 và b > 0).
2. Bất phương trình mũ: Bất phương trình mũ là bất phương trình có chứa ẩn số ở số mũ. Dạng tổng quát của bất phương trình mũ là: ax > b (với a > 0, a ≠ 1).
Hàm số mũ y = ax (với a > 0, a ≠ 1) có các tính chất quan trọng sau:
Có nhiều phương pháp để giải phương trình mũ, tùy thuộc vào dạng phương trình cụ thể. Một số phương pháp phổ biến bao gồm:
Tương tự như phương trình mũ, việc giải bất phương trình mũ cũng đòi hỏi sự linh hoạt trong việc lựa chọn phương pháp. Một số phương pháp thường được sử dụng:
Ví dụ 1: Giải phương trình 2x = 8
Ta có 8 = 23, vậy phương trình trở thành 2x = 23. Suy ra x = 3.
Ví dụ 2: Giải bất phương trình (1/2)x > 1/4
Ta có 1/4 = (1/2)2, vậy bất phương trình trở thành (1/2)x > (1/2)2. Vì hàm số y = (1/2)x nghịch biến, nên x < 2.
Để củng cố kiến thức, bạn có thể thực hành giải các bài tập sau:
Để học tốt Lý thuyết Phương trình và bất phương trình mũ, bạn nên:
Hy vọng với những kiến thức và phương pháp được trình bày trong bài viết này, bạn sẽ có thể tự tin giải quyết các bài toán về Phương trình và bất phương trình mũ trong chương trình Toán 11. Chúc bạn học tập tốt!
