Bài 1. Công thức cộng xác suất

Bài 1. Công thức cộng xác suất - SGK Toán 11: Giải chi tiết và hướng dẫn

Bài 1 trong chương IX của SGK Toán 11 tập 2 tập trung vào việc giới thiệu và ứng dụng công thức cộng xác suất. Đây là một trong những công cụ quan trọng nhất trong lý thuyết xác suất, cho phép chúng ta tính xác suất của một biến cố khi nó có thể xảy ra theo nhiều cách khác nhau.

1. Khái niệm cơ bản về xác suất

Trước khi đi sâu vào công thức cộng xác suất, chúng ta cần ôn lại một số khái niệm cơ bản:

Biến cố: Một sự kiện có thể xảy ra hoặc không xảy ra trong một thí nghiệm.
Không gian mẫu (Ω): Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của một thí nghiệm.
Xác suất của một biến cố (P(A)): Được tính bằng tỷ lệ giữa số kết quả thuận lợi cho biến cố A và tổng số kết quả có thể xảy ra trong không gian mẫu Ω. P(A) = n(A) / n(Ω)

2. Công thức cộng xác suất

Công thức cộng xác suất được sử dụng để tính xác suất của một biến cố là hợp của hai biến cố (A ∪ B). Công thức có hai trường hợp:

a. Hai biến cố độc lập

Nếu A và B là hai biến cố độc lập (tức là việc xảy ra của A không ảnh hưởng đến việc xảy ra của B, và ngược lại), thì:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

b. Hai biến cố không độc lập (có giao)

Nếu A và B là hai biến cố không độc lập (tức là việc xảy ra của A có thể ảnh hưởng đến việc xảy ra của B, và ngược lại), thì:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

Trong đó, P(A ∩ B) là xác suất của biến cố giao của A và B (tức là biến cố cả A và B cùng xảy ra).

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Gieo một con xúc xắc sáu mặt một lần. Tính xác suất để xuất hiện mặt 2 hoặc mặt 5.

Giải:

Biến cố A: Xuất hiện mặt 2. P(A) = 1/6
Biến cố B: Xuất hiện mặt 5. P(B) = 1/6
A và B là hai biến cố độc lập.
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = 1/6 + 1/6 = 1/3

Ví dụ 2: Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng. Tính xác suất để lấy được ít nhất một quả bóng đỏ.

Giải:

Gọi A là biến cố lấy được ít nhất một quả bóng đỏ.
Biến cố đối của A là A': Lấy được cả hai quả bóng xanh.
P(A') = (C₃²) / (C₈²) = 3/28
P(A) = 1 - P(A') = 1 - 3/28 = 25/28

4. Bài tập áp dụng

Một đồng xu được gieo hai lần. Tính xác suất để ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp.
Trong một lớp học có 15 học sinh, trong đó có 8 học sinh giỏi Toán. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh. Tính xác suất để trong 3 học sinh được chọn có ít nhất một học sinh giỏi Toán.
Hai người độc lập nhau bắn vào một mục tiêu. Người thứ nhất có xác suất bắn trúng là 0.6, người thứ hai có xác suất bắn trúng là 0.7. Tính xác suất để có ít nhất một người bắn trúng mục tiêu.

5. Kết luận

Công thức cộng xác suất là một công cụ quan trọng trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến xác suất. Việc nắm vững công thức và các ví dụ minh họa sẽ giúp các em tự tin hơn trong quá trình học tập và làm bài tập. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để hiểu rõ hơn về ứng dụng của công thức này.

Chúc các em học tốt!