Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Công thức cộng xác suất trong chương trình SGK Toán 11 của giaibaitoan.com. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức nền tảng và quan trọng nhất về công thức cộng xác suất, giúp bạn giải quyết các bài toán liên quan một cách dễ dàng và hiệu quả.
Chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu định nghĩa, các ví dụ minh họa và cách áp dụng công thức cộng xác suất vào thực tế. Hãy sẵn sàng để khám phá thế giới xác suất đầy thú vị!
A. Lý thuyết 1. Biến cố hợp và biến cố giao
A. Lý thuyết
1. Biến cố hợp và biến cố giao
Biến cố hợp của hai biến cố A và B là biến cố "A xảy ra hoặc B xảy ra", ký hiệu \(A \cup B\). Biến cố giao của hai biến cố A và B là biến cố "A và B đồng thời xảy ra", ký hiệu \(A \cap B\) hoặc AB. |
Lưu ý:
- Nếu mô tả các biến cố qua các tập con của không gian mẫu sẽ tạo thuận lợi cho việc tìm các biến cố hợp và giao.
- Trong toàn bộ chương này, ta xét các phép thử mà không gian mẫu có hữu hạn phần tử và đồng khả năng.
2. Công thức cộng xác suất
a) Biến cố xung khắc
| Hai biến cố gọi là xung khắc nếu chúng không đồng thời xảy ra. |
Lưu ý:
- Nếu A và B xung khắc thì \(A \cap B\) là biến cố không thể, nghĩa là \(A \cap B = \emptyset \).
- Hai biến cố đối nhau thì xung khắc. Điều ngược lại là không đúng.
b) Công thức cộng xác suất của hai biến cố xung khắc
Nếu A và B là hai biến cố xung khắc bất kì liên quan đến một phép thử thì \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\). |
Lưu ý: Nếu \(\overline A \) là biến cố đối của A thì A, \(\overline A \) là hai biến cố xung khắc và \(A \cup \overline A = \Omega \). Theo công thức cộng xác suất, ta có:
\(1 = P(\Omega ) = P(A \cup \overline A ) = P(A) + P(\overline A )\).
Do đó \(P(\overline A ) = 1 - P(A)\).
Vậy công thức tính xác suất biến cố đối là trường hợp đặc biệt của công thức cộng hai biến cố xung khắc.
c) Công thức cộng xác suất
Nếu A và B là hai biến cố bất kì liên quan đến một phép thử thì \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) + P(A \cup B)\). |
B. Bài tập
Bài 1: Chọn ngẫu nhiên lần lượt hai nhân viên của một công ty và ghi lại giới tính của họ. Xét các biến cố:
A: "Giới tính của một trong hai nhân viên là nam".
B: "Giới tính của hai nhân viên là khác nhau".
C: "Giới tính của hai nhân viên là giống nhau”.
Xác định các biến cố hợp và biến cố giao của:
a) A và B.
b) A và C.
Giải:
Kí hiệu giới tính nữ là F, giới tính nam là M. Không gian mẫu Ω và các biến cố A, B và C được cho bởi:
Ω = {(F;F); (F;M); (M;F); (M;M)}.
A = {(F;M); (M;F)}.
B = {(M;M); (M;F); (F;M)}.
C = {(M;M); (F;F)}.
a) \(A \cup B = A\); \(A \cap B = B\).
b) \(A \cup C = \Omega \); \(A \cap C = \{ (M;M)\} \).
Bài 2: Xét phép thử gieo một đồng xu hai lần và các biến cố sau:
A: "Kết quả gieo hai lần như nhau".
B: "Có ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp".
C: "Lần thứ hai mới xuất hiện mặt sấp".
D: "Lần đầu xuất hiện mặt sấp".
Hãy chỉ ra các cặp biến cố xung khắc trong các biến cố đã cho.
Giải:
Ta có A = {SS; NN}; B = {SN; NS; SS}; C = {NS}; D = {SS; SN}.
Do \(A \cap C = \emptyset \) và \(C \cap D = \emptyset \) nên các cặp biến cố xung khắc là A và C, C và D. Ngoài ra, trong các biến cố đã cho không có cặp biến cố xung khắc nào khác.
Bài 3: Một lọ có chứa 1 viên bi đỏ, 3 viên bi xanh lá cây, 4 viên bi đen và 2 viên bi vàng. Lấy ngẫu nhiên 1 viên bi từ trong lọ. Tính xác suất để viên bi lấy được không phải màu đỏ và không phải màu đen.
Giải:
Gọi X là biến cố "viên bi lấy được không phải màu đỏ và không phải màu đen". Biến cố X xảy ra khi viên bi lấy được có màu xanh lá cây hoặc có màu vàng.
Gọi A, B lần lượt là các biến cố "viên bi lấy được có màu xanh lá cây" và "viên bi lấy được có màu vàng". Khi đó, \(X = A \cup B\) và n(A) = 3, n(B) = 2. Hơn nữa, tổng số viên bi trong lọ là:
\(n(\Omega ) = 1 + 3 + 4 + 2 = 10\).
Do A, B là các biến cố xung khắc nên:
\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} + \frac{{n(B)}}{{n(\Omega )}} = \frac{3}{{10}} + \frac{2}{{10}} = 0,5\).
Vậy \(P(X) = P(A \cup B) = 0,5\).
Bài 4: Trong một buổi tiệc, có:
- 5 người đàn ông có số tuổi không nhỏ hơn 21.
- 4 người đàn ông có số tuổi nhỏ hơn 21.
- 6 người phụ nữ có số tuổi không nhỏ hơn 21.
- 3 người phụ nữ có số tuổi nhỏ hơn 21.
Nếu chọn ngẫu nhiên một người trong buổi tiệc để trao quà thì xác suất để người đó là phụ nữ hoặc có số tuổi nhỏ hơn 21 là bao nhiêu?
Giải:
Tổng số người trong buổi tiệc là n(Ω) = 5 + 4 + 6 + 3 = 18.
Gọi A là biến cố "người được chọn có số tuổi nhỏ hơn 21" và B là biến cố "người được chọn là phụ nữ". Khi đó \(A \cap B\) là biến cố "người được chọn có số tuổi nhỏ hơn 21 và là phụ nữ", còn \(A \cup B\) là biến cố "người được chọn có số tuổi nhỏ hơn 21 hoặc là phụ nữ". Theo định nghĩa trên, ta có:
\(P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{3 + 4}}{{18}} = \frac{7}{{18}}\); \(P(B) = \frac{{n(B)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{3 + 6}}{{18}} = \frac{1}{2}\); \(P(A \cap B) = \frac{{n(A \cap B)}}{{n(\Omega )}} = \frac{3}{{18}} = \frac{1}{6}\).
Theo công thức cộng xác suất, ta có \(P(A \cup B) = \frac{7}{{18}} + \frac{9}{{18}} - \frac{3}{{18}} = \frac{{13}}{{18}}\).
Công thức cộng xác suất là một trong những công cụ quan trọng nhất trong lý thuyết xác suất. Nó cho phép chúng ta tính xác suất của một biến cố khi biến cố đó có thể xảy ra theo nhiều cách khác nhau.
Trong lý thuyết xác suất, một biến cố là một sự kiện có thể xảy ra hoặc không xảy ra trong một thí nghiệm ngẫu nhiên. Xác suất của một biến cố là một số thực nằm trong khoảng từ 0 đến 1, biểu thị mức độ khả năng xảy ra của biến cố đó.
Hai biến cố A và B được gọi là tương thích nếu chúng có thể xảy ra đồng thời. Ngược lại, chúng được gọi là loại trừ nếu chúng không thể xảy ra đồng thời.
Không gian mẫu (Ω) là tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của một thí nghiệm ngẫu nhiên.
Công thức cộng xác suất phát biểu rằng xác suất của biến cố A hoặc B xảy ra (ký hiệu là P(A∪B)) bằng tổng xác suất của biến cố A và xác suất của biến cố B trừ đi xác suất của biến cố A và B xảy ra đồng thời (ký hiệu là P(A∩B)).
Công thức được biểu diễn như sau:
P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
Khi hai biến cố A và B là loại trừ nhau, xác suất của biến cố A và B xảy ra đồng thời bằng 0. Do đó, công thức cộng xác suất trở thành:
P(A∪B) = P(A) + P(B)
Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nhau nếu việc xảy ra của biến cố A không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố B, và ngược lại. Khi đó, xác suất của biến cố A và B xảy ra đồng thời bằng tích xác suất của biến cố A và xác suất của biến cố B:
P(A∩B) = P(A) * P(B)
Và công thức cộng xác suất trở thành:
P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A) * P(B)
Ví dụ 1: Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng từ hộp. Tính xác suất để lấy được ít nhất một quả bóng đỏ.
Giải:
Gọi A là biến cố lấy được ít nhất một quả bóng đỏ. Khi đó, biến cố đối của A là biến cố không lấy được quả bóng đỏ nào (tức là lấy được 2 quả bóng xanh).
Xác suất để lấy được 2 quả bóng xanh là:
P(A') = (C32) / (C82) = 3/28
Do đó, xác suất để lấy được ít nhất một quả bóng đỏ là:
P(A) = 1 - P(A') = 1 - 3/28 = 25/28
Ví dụ 2: Gieo một con xúc xắc 6 mặt và một đồng xu. Tính xác suất để con xúc xắc ra mặt 6 và đồng xu ra mặt sấp.
Giải:
Gọi A là biến cố con xúc xắc ra mặt 6, và B là biến cố đồng xu ra mặt sấp. Vì việc gieo xúc xắc và tung đồng xu là hai sự kiện độc lập, nên:
P(A∩B) = P(A) * P(B) = (1/6) * (1/2) = 1/12
Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về Lý thuyết Công thức cộng xác suất - SGK Toán 11. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để nắm vững kiến thức và áp dụng vào giải quyết các bài toán thực tế.
