Bài 4.19 thuộc chương trình Toán 11 tập 1, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về phép biến hình trong mặt phẳng để giải quyết các bài toán hình học. Bài tập này yêu cầu học sinh hiểu rõ các phép biến hình cơ bản như phép tịnh tiến, phép quay, phép đối xứng trục và phép đối xứng tâm.
Giaibaitoan.com cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Sau khi gắn kệ treo tường bằng gỗ (Hình 4.87), bạn Nam chuẩn bị đặt đồ trang trí lên nhưng lại lo lắng kệ bị nghiêng, các đồ đạc sẽ bị rơi vỡ. Bạn Bình đề xuất với bạn Nam:
Đề bài
Sau khi gắn kệ treo tường bằng gỗ (Hình 4.87), bạn Nam chuẩn bị đặt đồ trang trí lên nhưng lại lo lắng kệ bị nghiêng, các đồ đạc sẽ bị rơi vỡ. Bạn Bình đề xuất với bạn Nam: "Chỉ cần dùng một viên bi đặt lên vài vị trí trên kệ, nếu viên bi đứng yên thì yên tâm, nếu viên bi lăn xuống thì phải chỉnh lại kệ". Xem mặt kệ và mặt đất lần lượt là hình ảnh của mặt phẳng (P) và (Q). Với cách làm của bạn Bình, nếu viên bi lăn xuống đất thì (P) và (Q) có song song với nhau không? Vì sao?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước, có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho.
Lời giải chi tiết
Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước, có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho.
Vậy nếu viên bi lăn xuống thì (P) và (Q) không song song với nhau.
Bài 4.19 SGK Toán 11 tập 1 yêu cầu chúng ta xét một hình vuông ABCD và một điểm M bất kỳ trên cạnh BC. Qua M kẻ đường thẳng song song với CD, cắt AD tại N. Sau đó, xác định ảnh của các điểm A, B, C, D qua phép tịnh tiến theo vectơ MN.
Để giải bài toán này, chúng ta cần hiểu rõ định nghĩa của phép tịnh tiến và cách xác định ảnh của một điểm qua phép tịnh tiến. Phép tịnh tiến theo vectơ v biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho MM' = v.
Gọi A' là ảnh của A qua phép tịnh tiến theo vectơ MN. Ta có AA' = MN. Vì MN song song với CD và AD vuông góc với CD, nên AA' cũng vuông góc với AD. Do đó, A' nằm trên đường thẳng vuông góc với AD tại A. Hơn nữa, độ dài AA' bằng độ dài MN. Vì MN = BC (do MNCD là hình bình hành), nên AA' = BC.
Để xác định chính xác vị trí của A', ta cần xét hệ tọa độ. Giả sử A(0, a), B(b, a), C(b, 0), D(0, 0) và M(b, y) với 0 ≤ y ≤ a. Khi đó, N(0, y) và vectơ MN = (-b, y-y) = (-b, 0). Vậy A' = A + MN = (0, a) + (-b, 0) = (-b, a).
Gọi B' là ảnh của B qua phép tịnh tiến theo vectơ MN. Ta có BB' = MN. Vì MN song song với CD, nên BB' cũng song song với CD. Do đó, B' nằm trên đường thẳng song song với CD và đi qua B. Hơn nữa, độ dài BB' bằng độ dài MN. B' = B + MN = (b, a) + (-b, 0) = (0, a).
Gọi C' là ảnh của C qua phép tịnh tiến theo vectơ MN. Ta có CC' = MN. C' = C + MN = (b, 0) + (-b, 0) = (0, 0).
Gọi D' là ảnh của D qua phép tịnh tiến theo vectơ MN. Ta có DD' = MN. D' = D + MN = (0, 0) + (-b, 0) = (-b, 0).
Vậy, ảnh của các điểm A, B, C, D qua phép tịnh tiến theo vectơ MN lần lượt là A'(-b, a), B'(0, a), C'(0, 0), D'(-b, 0).
Bài toán này là một ví dụ điển hình về ứng dụng của phép tịnh tiến trong hình học. Phép tịnh tiến được sử dụng rộng rãi trong việc giải các bài toán liên quan đến sự di chuyển của các vật thể trong không gian. Ngoài ra, phép tịnh tiến còn có ứng dụng trong các lĩnh vực khác như đồ họa máy tính, vật lý và kỹ thuật.
Hy vọng với lời giải chi tiết này, các bạn học sinh đã hiểu rõ cách giải bài 4.19 trang 114 SGK Toán 11 tập 1. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập khác để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán.
