Bài 3. Các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Trong thống kê, các tứ phân vị là những giá trị chia một tập dữ liệu đã được sắp xếp thành bốn phần bằng nhau. Chúng cung cấp thông tin quan trọng về sự phân bố và độ phân tán của dữ liệu. Bài viết này sẽ đi sâu vào lý thuyết, công thức và các ví dụ minh họa để giúp bạn hiểu rõ về các tứ phân vị trong mẫu số liệu ghép nhóm.

1. Khái niệm tứ phân vị

Giả sử ta có một mẫu số liệu đã được sắp xếp theo thứ tự không giảm: x₁ ≤ x₂ ≤ ... ≤ x_n. Các tứ phân vị được định nghĩa như sau:

Tứ phân vị thứ nhất (Q₁): Giá trị chia nhỏ mẫu số liệu thành hai phần, sao cho 25% số liệu nhỏ hơn hoặc bằng Q₁ và 75% số liệu lớn hơn hoặc bằng Q₁.
Tứ phân vị thứ hai (Q₂): Là trung vị của mẫu số liệu, chia nhỏ mẫu số liệu thành hai phần bằng nhau.
Tứ phân vị thứ ba (Q₃): Giá trị chia nhỏ mẫu số liệu, sao cho 75% số liệu nhỏ hơn hoặc bằng Q₃ và 25% số liệu lớn hơn hoặc bằng Q₃.

2. Cách tính tứ phân vị cho mẫu số liệu ghép nhóm

Khi làm việc với mẫu số liệu ghép nhóm, việc tính toán tứ phân vị trở nên phức tạp hơn. Dưới đây là các bước thực hiện:

Tính kích thước của mỗi nhóm: f_i là tần số của nhóm thứ i.
Tính tần số tích lũy: F_i = f₁ + f₂ + ... + f_i.
Xác định nhóm chứa tứ phân vị:
- Để tìm Q₁, giải phương trình F_i-1 < (n+1)/4 ≤ F_i.
- Để tìm Q₂, giải phương trình F_i-1 < (n+1)/2 ≤ F_i.
- Để tìm Q₃, giải phương trình F_i-1 < 3(n+1)/4 ≤ F_i.
Tính tứ phân vị:
Q_i = a + [( (n+1)i/4 - F_i-1 ) / f_i ] * h
Trong đó:
- a là cận dưới của nhóm chứa tứ phân vị.
- h là chiều rộng của nhóm.
- i là thứ tự của tứ phân vị (1, 2, hoặc 3).

3. Ví dụ minh họa

Giả sử ta có bảng tần số sau:

Điểm	Tần số (f_i)
[50, 60)	5
[60, 70)	10
[70, 80)	15
[80, 90)	8
[90, 100)	2

Tổng số học sinh (n) = 5 + 10 + 15 + 8 + 2 = 40

Tính Q₁:

(n+1)/4 = (40+1)/4 = 10.25

Nhóm chứa Q₁ là [60, 70) vì tần số tích lũy của nhóm [50, 60) là 5 < 10.25 ≤ 15 (tần số tích lũy của nhóm [60, 70)).

Q₁ = 60 + [(10.25 - 5) / 10] * 10 = 65.25

4. Ứng dụng của tứ phân vị

Đo lường sự phân tán: Khoảng tứ phân vị (IQR = Q₃ - Q₁) cho biết phạm vi mà 50% dữ liệu tập trung.
Phát hiện giá trị ngoại lệ: Các giá trị nằm ngoài khoảng [Q₁ - 1.5IQR, Q₃ + 1.5IQR] có thể được coi là giá trị ngoại lệ.
So sánh sự phân bố của các tập dữ liệu: Tứ phân vị giúp so sánh hình dạng và độ phân tán của các tập dữ liệu khác nhau.