Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Hàm số liên tục trong chương trình SGK Toán 11 tại giaibaitoan.com. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn một cái nhìn tổng quan và chi tiết về khái niệm hàm số liên tục, các điều kiện để hàm số liên tục tại một điểm và trên một khoảng, cùng với các ví dụ minh họa cụ thể.
Chúng tôi tin rằng, với sự hướng dẫn tận tình và nội dung được trình bày một cách dễ hiểu, bạn sẽ dễ dàng nắm bắt và áp dụng kiến thức này vào giải quyết các bài tập thực tế.
I. Hàm số liên tục tại một điểm và liên tục trên một khoảng
I. Hàm số liên tục tại một điểm và liên tục trên một khoảng
1. Hàm số liên tục tại 1 điểm
Cho hàm \(y = f(x)\) xác định trên khoảng K, \({x_0} \in K\). Hàm số \(f(x)\) được gọi là liên tục tại điểm \({x_0}\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = f({x_0})\).
Hàm số không liên tục tại \({x_0}\) được gọi là gián đoạn tại điểm đó.
2. Hàm số liên tục trên một khoảng
- Hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\)
Hàm số \(y = f(x)\) được gọi là liên tục trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng này.
- Hàm số \(y = f(x)\) được gọi là liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) nếu nó liên tục trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = f(a),\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f(x) = f(b)\).
* Nhận xét:
- Đồ thị hàm số liên tục trên một khoảng, đoạn là “đường liền” trên khoảng, đoạn đó.
- Nếu hàm số\(y = f(x)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) và \(f(a).f(b) < 0\)thì phương trình \(f(x) = 0\)có ít nhất một nghiệm trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\).
II. Một số định lí cơ bản
1. Định lí 1
- Hàm số đa thức và hàm số \(y = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}},y = c{\rm{osx}}\)liên tục trên \(\mathbb{R}\).
- Các hàm số \(y = \tan {\rm{x}},y = c{\rm{otx,}}y = \sqrt x \) và hàm phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) liên tục trên tập xác định của chúng.
2. Định lí 2
Giả sử hai hàm số \(y = f(x)\) và \(y = g(x)\) liên tục tại điểm \({x_0}\). Khi đó:
a, Các hàm số \(y = f(x) \pm g(x)\) và \(y = f(x).g(x)\) liên tục tại điểm \({x_0}\).
b, Hàm số \(y = \frac{{f(x)}}{{g(x)}}\) liên tục tại điểm \({x_0}\) nếu \(g({x_0}) \ne 0\).
c, Hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên khoảng K và \(f(x) \ge 0,\forall x \in K\). Khi đó hàm số \(y = \sqrt {f(x)} \) liên tục trên K.
Hàm số liên tục là một khái niệm nền tảng trong giải tích, đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu các tính chất của hàm số và ứng dụng vào nhiều lĩnh vực khác nhau. Trong chương trình SGK Toán 11, học sinh được giới thiệu về khái niệm này một cách cơ bản, tập trung vào các điều kiện để hàm số liên tục tại một điểm và trên một khoảng.
Một hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm x0 nếu thỏa mãn ba điều kiện sau:
Nếu một trong ba điều kiện trên không được thỏa mãn, hàm số f(x) được gọi là gián đoạn tại điểm x0.
Một hàm số f(x) được gọi là liên tục trên khoảng (a, b) nếu nó liên tục tại mọi điểm trong khoảng đó. Tương tự, hàm số f(x) được gọi là liên tục trên đoạn [a, b] nếu nó liên tục trên khoảng (a, b) và liên tục phải từ bên phải tại a và liên tục trái tại b.
Xét hàm số f(x) = x2 + 1. Hàm số này là một hàm đa thức, do đó nó liên tục trên toàn bộ tập số thực. Điều này có nghĩa là nó liên tục tại mọi điểm x0.
Xét hàm số f(x) = 1/x. Hàm số này không xác định tại x = 0, do đó nó không liên tục tại x = 0. Tuy nhiên, nó liên tục trên các khoảng (-∞, 0) và (0, +∞).
Khái niệm hàm số liên tục có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như:
Để củng cố kiến thức về hàm số liên tục, bạn có thể thực hành giải các bài tập sau:
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về Lý thuyết Hàm số liên tục - SGK Toán 11. Chúc bạn học tập tốt!
