Bài 2.5 trang 49 SGK Toán 11 tập 1 là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 11, tập trung vào việc giải các phương trình lượng giác cơ bản. Bài tập này giúp học sinh rèn luyện kỹ năng biến đổi lượng giác và áp dụng các công thức lượng giác đã học.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho Bài 2.5 trang 49 SGK Toán 11 tập 1, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Chứng minh rằng các dãy số (un) cho bởi các công thức sau đây bị chặn:
Đề bài
Chứng minh rằng các dãy số (un) cho bởi các công thức sau đây bị chặn:
a) \({u_n} = 2 + \frac{1}{n};\)
b) \({u_n} = \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}};\)
c) \({u_n} = \sin \left( n \right) + \cos \left( n \right).\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn khi \(m \le {u_n} \le M\forall n\) nguyên dương.
Lời giải chi tiết
a)
\(\begin{array}{l}{u_n} = 2 + \frac{1}{n}\\n \ge 1 \Leftrightarrow 0 < \frac{1}{n} \le 1 \Leftrightarrow 2 < 2 + \frac{1}{n} \le 3\end{array}\)
Vậy dãy số đã cho là dãy bị chặn.
b)
\(\begin{array}{l}{u_n} = \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}}\\n \ge 1 \Leftrightarrow n + 1 \ge 2 \Rightarrow n\left( {n + 1} \right) \ge 2\\ \Rightarrow 0 < \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} \le \frac{1}{2}\end{array}\)
Vậy dãy số đã cho là dãy bị chặn.
c)
\(\begin{array}{l}{u_n} = \sin \left( n \right) + \cos \left( n \right)\\\left\{ \begin{array}{l} - 1 \le \sin \left( n \right) \le 1\\ - 1 \le \cos \left( n \right) \le 1\end{array} \right.\\ \Rightarrow - 2 \le \sin \left( n \right) + \cos \left( n \right) \le 2\end{array}\)
Vậy dãy số đã cho là dãy bị chặn.
Bài 2.5 trang 49 SGK Toán 11 tập 1 yêu cầu giải các phương trình lượng giác sau:
Phương trình sin(x) = 1/2 có nghiệm là:
Giải thích:
Ta biết rằng sin(π/6) = 1/2. Do đó, một nghiệm của phương trình là x = π/6. Vì sin(x) = sin(π - x), nên nghiệm còn lại là x = π - π/6 = 5π/6. Tổng quát, ta có các nghiệm x = π/6 + k2π và x = 5π/6 + k2π, với k là số nguyên.
Phương trình cos(x) = -√3/2 có nghiệm là:
Giải thích:
Ta biết rằng cos(5π/6) = -√3/2. Do đó, một nghiệm của phương trình là x = 5π/6. Vì cos(x) = cos(-x), nên nghiệm còn lại là x = -5π/6 + k2π = 7π/6 + k2π. Tổng quát, ta có các nghiệm x = 5π/6 + k2π và x = 7π/6 + k2π, với k là số nguyên.
Phương trình tan(x) = 1 có nghiệm là:
Giải thích:
Ta biết rằng tan(π/4) = 1. Vì tan(x) có chu kỳ π, nên nghiệm tổng quát là x = π/4 + kπ, với k là số nguyên.
Phương trình cot(x) = 0 có nghiệm là:
Giải thích:
Cot(x) = 1/tan(x). Cot(x) = 0 khi tan(x) tiến tới vô cùng, điều này xảy ra khi x = π/2 + kπ, với k là số nguyên.
Giải phương trình lượng giác có nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:
Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn giải trên, bạn đã hiểu rõ cách giải Bài 2.5 trang 49 SGK Toán 11 tập 1. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập tương tự để nâng cao kỹ năng giải toán của mình!
