Chào mừng các em học sinh đến với chuyên mục giải bài tập Toán 11 tập 1 của giaibaitoan.com. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập trong mục 3, trang 90, 91, 92, 93 của sách giáo khoa Toán 11 tập 1.
Mục tiêu của chúng tôi là giúp các em nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán và đạt kết quả tốt nhất trong học tập.
Bánh ít lá gai là một đặc sản của người miền Trung, có dạng là một hình chóp tứ giác như Hình 4.29a.
Bánh ít lá gai là một đặc sản của người miền Trung, có dạng là một hình chóp tứ giác như Hình 4.29a. Trong không gian, hình ảnh bánh ít lá gai có thể biểu diễn bởi Hình 4.29b. Hãy gọi tên các tam giác và tứ giác ở Hình 4.29b tương ứng với các bề mặt được gói lá của một chiếc bánh ít.
Phương pháp giải:
Quan sát hình vẽ.
Lời giải chi tiết:
Các tam giác trong Hình 4.29b là SAC, SAD, SAB, SCD.
Tứ giác trong Hình 4.29b là ABCD.
Cho hình chóp S.ABCD với hai đường thẳng AB và CD cắt nhau. Gọi M là một điểm thuộc SA (khác S và A). Hãy tìm các giao tuyến của mặt phẳng (MCD) với các mặt phẳng (ABCD), (SAB), (SCD), (SBC), (SAD).
Phương pháp giải:
Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q):
Tìm điểm chung A, B của 2 mặt phẳng đó. Đường thẳng AB là giao tuyến cần tìm.
Chú ý: Thường tìm 2 đường đồng phẳng lần lượt nằm trong (P) và (Q) (nếu có). 2 đường đó cắt nhau tại điểm nào thì đó là điểm chung của hai mặt phẳng.
Lời giải chi tiết:
Trong (ABCD), gọi E là giao điểm của AB và CD
Trong (SAB), gọi N là giao điểm của EM và SB
\(\left( {MCD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = CD\)
\(\left( {MCD} \right) \cap \left( {SCD} \right) = CD\)
\(\left( {MCD} \right) \cap \left( {SAD} \right) = DM\)
\(\begin{array}{l}E = AB \cap CD\\\left\{ \begin{array}{l}AB \subset \left( {SAB} \right)\\CD \subset \left( {MCD} \right)\\M \in SA\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left( {MCD} \right) \cap \left( {SAB} \right) = EM\end{array}\)
Mở rộng (MCD) thành (MEC)
\(\begin{array}{l}N = EM \cap SB\\\left\{ \begin{array}{l}SB \subset \left( {SBC} \right)\\EM \subset \left( {MEC} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left( {MEC} \right) \cap \left( {SBC} \right) = CN \Leftrightarrow \left( {MCD} \right) \cap \left( {SBC} \right) = CN\end{array}\)
Trong hoá học, ta đã biết phân tử khí methane (CH) có một nguyên tử carbon (C) liên kết với bốn nguyên tử hydrogen (H) và các nguyên tử này không cùng nằm trong một mặt phẳng. Nếu xem bốn nguyên tử hydrogen là bốn điểm A, B, C, D thì ta có bao nhiêu tam giác khác nhau tạo từ bốn điểm này? (Nguồn: https://chem.libretexts.org/Bookshelves/Organic_Chemistry/Organic_Chemistry_( LibreTexts)/01%3A_Structure_ and Bonding/1.06 %3A_sp_Hybrid_Orbitals_and_the_Structure_of_Methane)
Phương pháp giải:
Cứ 3 điểm bất kì không thẳng hàng thì tạo thành một tam giác.
Lời giải chi tiết:
Nếu xem bốn nguyên tử hydrogen là bốn điểm A, B, C, D thì 4 điểm này tạo thành 4 tam giác khác nhau là ABC, ABD, ACD, BCD.
Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình thang có đáy lớn là AB. Gọi M là trung điểm của SD. Hãy xác định giao tuyến của các cặp mặt phẳng: (SAD) và (SBC), (MBC) và (SAD).
Phương pháp giải:
Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q):
Tìm 2 điểm chung A, B của 2 mặt phẳng đó. AB chính là giao tuyến của (P) và (Q).
Chú ý: Thường tìm 2 đường thẳng đồng phẳng lần lượt nằm trong (P) và (Q). Nếu chúng cắt nhau tại 1 điểm thì đó là điểm chung của (P) và (Q).
Lời giải chi tiết:
Trong (ABCD), gọi \(AD \cap BC = E\)
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}AD \subset \left( {SAD} \right)\\BD \subset \left( {SBD} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SE\end{array}\)
\(\begin{array}{l}AD \cap BC = E\\\left\{ \begin{array}{l}AD \subset \left( {SAC} \right)\\BC \subset \left( {MBC} \right)\\M \in SD\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left( {MBC} \right) \cap \left( {SAD} \right) = EM\end{array}\)
Trong mặt phẳng (Q), cho hình thang ABCD có đáy lớn là AD. Lấy điểm S nằm ngoài mặt phẳng (Q). Gọi M là trung điểm của SB. Tìm giao điểm của đường thẳng AM và mặt phẳng (SCD).
Phương pháp giải:
Tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P)
Cách 1: Nếu (P) có chứa đường thẳng a cắt d
Cách 2: Nếu (P) không chứa đường thẳng cắt d
+ Bước 1: Tìm \(\left( Q \right) \supset d\) và \(\left( P \right) \cap \left( Q \right) = a\)
+ Bước 2: Tìm \(I = a \cap d \Rightarrow I = d \cap \left( P \right)\)
Lời giải chi tiết:
Trong (ABCD), gọi \(AB \cap DC = E\)
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}AB \subset \left( {SAB} \right)\\DC \subset \left( {SDC} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left( {SAB} \right) \cap \left( {SDC} \right) = SE\end{array}\)
Trong (SAE), gọi \(SE \cap AM = N\)
Mà: \(AM \subset \left( {SAB} \right)\)
\( \Rightarrow N = AM \cap \left( {SCD} \right)\)
Cắt một miếng bìa thành nửa hình tròn tâm O, đường kính AA’. Trên cung AA’, lấy hai điểm B, C bất kì (khác A, A’). Dùng kéo cắt theo các đường AB, BC, CA’ sau đó gấp giấy theo các đường OB, OC và dán hai mép , OA’ lại với nhau. Khi đó, ta được một mô hình của hình chóp (không có mặt đáy).
a) Hình chóp này có tên gọi là gì?
b) Bằng cách làm này, muốn có một hình chóp lục giác (không đáy) thì ta cần lấy bao nhiều điểm trên cung AA’?
Phương pháp giải:
Hình chóp tam giác đều là hình có các mặt bên là tam giác cân và đáy là tam giác đều.
Lời giải chi tiết:
a) Sau khi ghép theo đề bài, ta được hình chóp tam giác đều vì 3 cạnh bên OA = OB = OC (cùng bằng bán kính đường tròn tâm O), AB = BC = CA’ nên có đáy là tam giác đều.
b) Theo phần a, để được hình chóp tam giác đều (không đáy) thì ta lấy 2 điểm trên cung AA’. Nên để được hình chóp lục giác (không đáy) thì ta lấy 4 điểm trên cung AA’.
Mục 3 của SGK Toán 11 tập 1 tập trung vào phương pháp tọa độ trong không gian, một phần kiến thức nền tảng quan trọng cho các chương trình học toán ở các lớp trên. Việc nắm vững các khái niệm và kỹ năng giải toán liên quan đến tọa độ trong không gian sẽ giúp học sinh giải quyết các bài toán hình học không gian một cách hiệu quả hơn.
Mục 3 bao gồm các nội dung chính sau:
Dưới đây là lời giải chi tiết cho các bài tập trong mục 3, trang 90, 91, 92, 93 SGK Toán 11 tập 1:
Đề bài: Cho hai điểm A(1; 2; 3) và B(-1; 0; 1). Tìm tọa độ của điểm M sao cho M là trung điểm của đoạn thẳng AB.
Lời giải:
Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB được tính theo công thức:
M = ((xA + xB)/2; (yA + yB)/2; (zA + zB)/2)
Thay tọa độ của A và B vào công thức, ta được:
M = ((1 + (-1))/2; (2 + 0)/2; (3 + 1)/2) = (0; 1; 2)
Vậy tọa độ của điểm M là (0; 1; 2).
Đề bài: Cho vector a = (2; -1; 3) và vector b = (1; 0; -2). Tính tích vô hướng của hai vector a và b.
Lời giải:
Tích vô hướng của hai vector a = (x1; y1; z1) và b = (x2; y2; z2) được tính theo công thức:
a.b = x1x2 + y1y2 + z1z2
Thay tọa độ của a và b vào công thức, ta được:
a.b = (2)(1) + (-1)(0) + (3)(-2) = 2 + 0 - 6 = -4
Vậy tích vô hướng của hai vector a và b là -4.
Đề bài: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(1; 2; 3) và có vector chỉ phương là vector a = (2; -1; 1).
Lời giải:
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A(x0; y0; z0) và có vector chỉ phương a = (a1; a2; a3) là:
{ x = x0 + a1t
y = y0 + a2t
z = z0 + a3t }
Thay tọa độ của A và vector a vào, ta được:
{ x = 1 + 2t
y = 2 - t
z = 3 + t }
Vậy phương trình tham số của đường thẳng là { x = 1 + 2t; y = 2 - t; z = 3 + t }.
Đề bài: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(1; 2; 3) và có vector pháp tuyến là vector n = (1; -1; 2).
Lời giải:
Phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(x0; y0; z0) và có vector pháp tuyến n = (a; b; c) là:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
Thay tọa độ của A và vector n vào, ta được:
1(x - 1) - 1(y - 2) + 2(z - 3) = 0
x - 1 - y + 2 + 2z - 6 = 0
x - y + 2z - 5 = 0
Vậy phương trình mặt phẳng là x - y + 2z - 5 = 0.
Để học tốt môn Toán 11, đặc biệt là phần phương pháp tọa độ trong không gian, các em cần:
Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!
