Bài 5.19 thuộc chương trình Toán 11 tập 1, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế. Bài tập này yêu cầu học sinh hiểu rõ các quy tắc tính đạo hàm và cách áp dụng chúng vào việc tìm đạo hàm của hàm số.
Giaibaitoan.com xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu Bài 5.19 trang 148 SGK Toán 11 tập 1, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Một công ty giống cây trồng đã cho trồng thử nghiệm hai giống lúa vụ đông xuân ở một số địa phương, với điều kiện thổ nhưỡng và chế độ chăm sóc như nhau. Cuối vụ, công ty tìm hiểu năng suất mỗi giống lúa trên những thửa ruộng đã trồng thí điểm và thu được dữ liệu ở bảng sau:
Đề bài
Một công ty giống cây trồng đã cho trồng thử nghiệm hai giống lúa vụ đông xuân ở một số địa phương, với điều kiện thổ nhưỡng và chế độ chăm sóc như nhau. Cuối vụ, công ty tìm hiểu năng suất mỗi giống lúa trên những thửa ruộng đã trồng thí điểm và thu được dữ liệu ở bảng sau:
Trong vai nhà nghiên cứu, hãy phân tích dữ liệu về năng suất mỗi giống lúa và quyết định nên triển khai trồng đại trà giống lúa nào. Giải thích sự lựa chọn đó.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Phân tích dữ liệu về năng suất bằng cách đi tính trung bình, trung vị, mốt của mỗi giống lúa.
+) \(\overline x = \frac{1}{N}\left( {{c_1}{n_1} + {c_2}{n_2} + ... + {c_k}{n_k}} \right)\) với \({c_k},{n_k}\) lần lượt là giá trị đại diện và tần số của nhóm thứ k
\({c_k}\) là trung bình cộng của đầu mút trái và đầu mút phải của nhóm đó.
+) Trung vị \({M_e} = {L_m} + \frac{{\frac{N}{2} - T}}{{{n_m}}}.h\) trong đó \({L_m},{n_m},h\) lần lượt là đầu mút trái, tần số và độ dài của nhóm chứa trung vị. \(T\) là tần số tích lũy của nhóm ngay trước nhóm chứa trung vị.
Nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng \(\frac{N}{2}\) , trong đó \(N\) là cỡ mẫu.
+) Công thức tìm mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là \({M_0} = {L_m} + \frac{a}{{a + b}}.h\)
Lời giải chi tiết
+) Tính trung bình
Ta có bảng sau
Áp dụng công thức trung bình ta có
\(\overline {{x_A}} = \frac{{2070}}{{32}} \approx 64,7\); \(\overline {{x_B}} = \frac{{2215}}{{36}} \approx 61,5\)
+) Tính trung vị
Bảng tần số tích lũy sau
* Với giống lúa A có \(\frac{{{N_A}}}{2} = \frac{{32}}{2} = 16\). Do đó nhóm có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 16 là nhóm \(\left[ {65;70} \right)\).
Ta có \({L_m} = 65;h = 70 - 65 = 5;{n_m} = 11\), \(T = 15\).
Áp dụng công thức tính \({M_e} = {L_m} + \frac{{\frac{N}{2} - T}}{{{n_m}}}.h = 65 + \frac{{16 - 15}}{{11}}.5 \approx 65,5\)
* Với giống lúa \(B\) có \(\frac{{{N_B}}}{2} = \frac{{36}}{2} = 18\). Do đó nhóm có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 18 là nhóm \(\left[ {60;65} \right)\).
Ta có \({L_m} = 60;h = 65 - 60 = 5;{n_m} = 13;T = 14\)
Áp dụng công thức tính \({M_e} = {L_m} + \frac{{\frac{N}{2} - T}}{{{n_m}}}.h = 60 + \frac{{18 - 14}}{{13}}.5 \approx 61,5\)
+ Tính mốt
* Với giống lúa A thì nhóm chứa mốt là \(\left[ {65;70} \right)\) với tần số \(n = 11\), \(h = 70 - 65 = 5\)
\({L_m} = 65;a = 11 - 8 = 3;b = 11 - 6 = 5;\)
Ta có \({M_0} = {L_m} + \frac{a}{{a + b}}.h = 65 + \frac{3}{{3 + 5}}.5 \approx 66,9\)
* Với giống lúa B thì nhóm chứa mốt là \(\left[ {60;65} \right)\) với tần số \(n = 13;h = 65 - 60 = 5\)
\({L_m} = 60;a = 13 - 8 = 5;b = 13 - 5 = 8\)
Ta có \({M_0} = {L_m} + \frac{a}{{a + b}}.h = 60 + \frac{5}{{5 + 8}}.5 \approx 61,9\)
Dựa vào các dữ liệu về tính trung bình, trung vị và mốt ta nhận thấy giống lúa A đều cho năng suất hơn giống lúa B. Do đó nên triển khai trồng đại trà giống lúa A
Bài 5.19 SGK Toán 11 tập 1 yêu cầu chúng ta tìm đạo hàm của hàm số f(x) = (x^2 + 1)^3. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp.
Nếu y = u(v) và v = g(x), thì dy/dx = (dy/dv) * (dv/dx). Quy tắc này cho phép chúng ta tính đạo hàm của một hàm số phức tạp bằng cách chia nó thành các hàm đơn giản hơn.
Trong bài toán này, ta có thể đặt u(v) = v^3 và v = x^2 + 1. Khi đó:
Áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp, ta có:
f'(x) = (du/dv) * (dv/dx) = 3v^2 * 2x = 3(x^2 + 1)^2 * 2x = 6x(x^2 + 1)^2
Vậy, đạo hàm của hàm số f(x) = (x^2 + 1)^3 là f'(x) = 6x(x^2 + 1)^2.
Bài toán này không chỉ kiểm tra khả năng áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp mà còn yêu cầu học sinh phải hiểu rõ cấu trúc của hàm số và cách phân tích nó thành các thành phần đơn giản hơn. Việc hiểu rõ bản chất của quy tắc đạo hàm sẽ giúp học sinh giải quyết các bài toán phức tạp hơn một cách hiệu quả.
Để hiểu rõ hơn về quy tắc đạo hàm của hàm hợp, chúng ta hãy xem xét một ví dụ khác:
Cho hàm số g(x) = sin(x^2). Ta có thể đặt u(v) = sin(v) và v = x^2. Khi đó:
Áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp, ta có:
g'(x) = (du/dv) * (dv/dx) = cos(v) * 2x = cos(x^2) * 2x = 2xcos(x^2)
Ngoài quy tắc đạo hàm của hàm hợp, còn có nhiều quy tắc đạo hàm khác mà học sinh cần nắm vững, như quy tắc đạo hàm của tích, quy tắc đạo hàm của thương, và quy tắc đạo hàm của hàm ngược. Việc nắm vững các quy tắc này sẽ giúp học sinh giải quyết một cách linh hoạt và hiệu quả các bài toán về đạo hàm.
Để củng cố kiến thức về quy tắc đạo hàm của hàm hợp, các em học sinh có thể tự giải các bài tập tương tự sau:
Khi học về đạo hàm, các em học sinh nên:
Hy vọng với lời giải chi tiết và những phân tích trên, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về Bài 5.19 trang 148 SGK Toán 11 tập 1 và tự tin giải các bài tập tương tự. Chúc các em học tốt!
