Bài 3.17 trang 80 SGK Toán 11 tập 1 là một bài toán quan trọng trong chương trình học Toán 11. Bài toán này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ, các phép toán vectơ và ứng dụng của vectơ trong hình học để giải quyết.
Giaibaitoan.com cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán. Chúng tôi luôn cập nhật những phương pháp giải mới nhất và hiệu quả nhất.
Tìm các giới hạn:
Đề bài
Tìm các giới hạn:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{{x^2} - x - 12}}{{{x^2} - 16}}\)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^4} - 1}}{{{x^3} - 1}}\)
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^3} + x + 5}}{{2{x^3} - 1}}\)
d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {1 + {x^2}} }}{{2x - 1}}\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a, b, Đây là giới hạn tại điểm có dạng vô định \(\frac{0}{0}\)
Phân tích đa thức thành nhân tử để khử dạng vô định \(\frac{0}{0}\)
c, d, Đây là giới hạn của hàm số tại vô cực
Áp dụng các công thức sau: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{c}{{{x^k}}} = 0;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{c}{{{x^k}}} = 0\)
Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa của \(x\) với số mũ lớn nhất
Chú ý: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left| x \right| = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - x} \right)\)
Lời giải chi tiết
a,
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{{x^2} - x - 12}}{{{x^2} - 16}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 4} \right)}}{{\left( {x + 4} \right)\left( {x - 4} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{x + 3}}{{x + 4}} = \frac{{4 + 3}}{{4 + 4}} = \frac{7}{8}\)
b,
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^4} - 1}}{{{x^3} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^3} + {x^2} + x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^3} + {x^2} + x + 1}}{{{x^2} + x + 1}} = \frac{{{1^3} + {1^2} + 1 + 1}}{{{1^2} + 1 + 1}} = \frac{4}{3}\)
c,
Chia cả từ và mẫu cho \({x^3}\) ta được \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^3} + x + 5}}{{2{x^3} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{1 + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{5}{{{x^3}}}}}{{2 - \frac{1}{{{x^3}}}}} = \frac{1}{2}\)
d,
Chia cả tử và mẫu cho \(x\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {1 + {x^2}} }}{{2x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\left| x \right|\sqrt {\frac{1}{{{x^2}}} + 1} }}{{2x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - x\sqrt {\frac{1}{{{x^2}}} + 1} }}{{2x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - \sqrt {\frac{1}{{{x^2}}} + 1} }}{{2 - \frac{1}{x}}} = - \frac{1}{2}\)
Bài 3.17 trang 80 SGK Toán 11 tập 1 thuộc chương trình Đại số và Giải tích lớp 11, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về vectơ để giải quyết các bài toán hình học. Để hiểu rõ hơn về cách giải bài toán này, chúng ta cần nắm vững các khái niệm cơ bản về vectơ, bao gồm:
Nội dung bài toán:
Bài 3.17 thường yêu cầu học sinh chứng minh một đẳng thức vectơ, tìm một điểm thỏa mãn một điều kiện cho trước, hoặc tính độ dài của một đoạn thẳng. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần:
Ví dụ minh họa:
Giả sử bài toán yêu cầu chứng minh rằng với mọi điểm M trên đường thẳng d, ta có vectơ MA + vectơ MB = 2 vectơ MC, trong đó A, B là hai điểm cố định và C là trung điểm của đoạn AB. Để giải bài toán này, chúng ta có thể làm như sau:
1. Chọn hệ tọa độ Oxy với gốc tọa độ là trung điểm C của đoạn AB.
2. Giả sử A(a, 0) và B(-a, 0).
3. Gọi M(x, y) là một điểm bất kỳ trên đường thẳng d.
4. Tính các vectơ MA, MB và MC theo tọa độ của các điểm A, B, M và C.
5. Thực hiện phép cộng vectơ MA + vectơ MB và so sánh với 2 vectơ MC.
6. Nếu MA + MB = 2MC, thì đẳng thức được chứng minh.
Các dạng bài tập thường gặp:
Mẹo giải bài tập vectơ:
Tài liệu tham khảo:
Kết luận:
Bài 3.17 trang 80 SGK Toán 11 tập 1 là một bài toán quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về vectơ và ứng dụng của vectơ trong hình học. Bằng cách nắm vững các khái niệm cơ bản, áp dụng các quy tắc và kỹ năng giải toán một cách linh hoạt, học sinh có thể giải quyết bài toán này một cách hiệu quả. Giaibaitoan.com hy vọng rằng với lời giải chi tiết và những hướng dẫn trên, các bạn học sinh sẽ tự tin hơn trong việc học tập môn Toán.
