Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết Bài 7.6 trang 45 SGK Toán 11 tập 2. Bài tập này thuộc chương trình học môn Toán lớp 11, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.
giaibaitoan.com luôn đồng hành cùng các em trong quá trình học tập, cung cấp lời giải chính xác, dễ hiểu và phương pháp giải bài tập hiệu quả.
Tính đạo hàm các hàm số sau:
Đề bài
Tính đạo hàm các hàm số sau:
a) \(y = {x^4} + 3{x^3} - 2\sqrt x \).
b) \(y = \frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}\).
c) \(y = ({x^2} + 1).\cot x\).
d) \(y = {e^x}.{\log _2}x\).
e) \(y = \sqrt {{2^x} + 1} \).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Sử dụng công thức \({({x^n})'} = n.{x^{n - 1}}\), \({(\sqrt x )'} = \frac{1}{{2\sqrt x }}\).
b) Sử dụng quy tắc \({(\frac{u}{v})'} = \frac{{{u'}.v - u.{v'}}}{{{v^2}}}\).
c) Sử dụng quy tắc \({(u.v)'} = {u'}v + u.{v'}\).
d) Sử dụng quy tắc \({(u.v)'} = {u'}v + u.{v'}\).
e) Sử dụng đạo hàm của hàm hợp \({(\sqrt u )'} = \frac{{{u'}}}{{2\sqrt u }}\).
Lời giải chi tiết
a) Ta có: \(y' = ({x^4} + 3{x^3} - 2\sqrt x )' = 4{x^3} + 9{x^2} - \frac{1}{{\sqrt x }}\).
b) Ta có: \(y' = (\frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}})' = \frac{{({x^2} + 2x + 2)'.(x + 1) - ({x^2} + 2x + 2).(x + 1)'}}{{{{(x + 1)}^2}}}\)
\(\frac{{(2x + 2).(x + 1) - ({x^2} + 2x + 2)}}{{{{(x + 1)}^2}}} = \frac{{2.({x^2} + 2x + 1) - ({x^2} + 2x + 2)}}{{{{(x + 1)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 2x}}{{{{(x + 1)}^2}}}\).
c) Ta có: \(y' = {\rm{[}}({x^2} + 1).\cot x{\rm{]'}} = ({x^2} + 1)'.\cot x + ({x^2} + 1).(\cot x)'\)
\( = 2x.\cot x + ({x^2} + 1).\frac{{ - 1}}{{{{\sin }^2}x}}\).
d) Ta có: \(y' = ({e^x}.{\log _2}x)' = ({e^x})'.{\log _2}x + {e^x}.({\log _2}x)' = {e^x}.{\log _2}x + {e^x}.\frac{1}{{x.\ln 2}}\).
e) Ta có: \(y' = (\sqrt {{2^x} + 1} )' = \frac{{({2^x} + 1)'}}{{2\sqrt {{2^x} + 1} }} = \frac{{{2^x}.\ln 2}}{{2\sqrt {{2^x} + 1} }}\).
Bài 7.6 trang 45 SGK Toán 11 tập 2 yêu cầu chúng ta vận dụng kiến thức về đạo hàm của hàm số để giải quyết một bài toán thực tế liên quan đến tốc độ thay đổi của một đại lượng. Để giải bài toán này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các khái niệm và công thức đạo hàm cơ bản, cũng như kỹ năng áp dụng đạo hàm vào việc tìm cực trị và khảo sát hàm số.
Trước khi bắt đầu giải bài tập, chúng ta cần đọc kỹ đề bài và xác định rõ yêu cầu của bài toán. Trong bài 7.6, đề bài thường đưa ra một tình huống thực tế, ví dụ như sự thay đổi của vận tốc, gia tốc, hoặc chi phí sản xuất. Yêu cầu của bài toán có thể là tìm tốc độ thay đổi của một đại lượng tại một thời điểm nhất định, hoặc tìm giá trị lớn nhất/nhỏ nhất của một hàm số.
Để giải bài tập đạo hàm, chúng ta có thể áp dụng các phương pháp sau:
Giả sử Bài 7.6 yêu cầu chúng ta tìm vận tốc của một vật tại thời điểm t, biết rằng quãng đường vật đi được là s(t) = t2 + 2t + 1.
Giải:
Vận tốc của vật tại thời điểm t là đạo hàm của quãng đường s(t) theo thời gian t.
v(t) = s'(t) = 2t + 2
Vậy, vận tốc của vật tại thời điểm t là 2t + 2.
Để củng cố kiến thức về đạo hàm, các em có thể làm thêm các bài tập tương tự trong SGK Toán 11 tập 2 và các tài liệu tham khảo khác. Việc luyện tập thường xuyên sẽ giúp các em nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập đạo hàm một cách hiệu quả.
Đạo hàm có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như:
Do đó, việc học tốt đạo hàm không chỉ giúp các em giải quyết các bài tập trong SGK mà còn mở ra nhiều cơ hội trong các lĩnh vực khác.
Bài 7.6 trang 45 SGK Toán 11 tập 2 là một bài tập quan trọng giúp các em hiểu rõ hơn về ứng dụng của đạo hàm trong việc giải quyết các bài toán thực tế. Hy vọng rằng với lời giải chi tiết và phương pháp giải bài tập hiệu quả mà giaibaitoan.com cung cấp, các em sẽ học tốt môn Toán và đạt kết quả cao trong các kỳ thi.
