Bài 3.15 trang 80 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Vị trí ban đầu của một chất điểm trên trục \(Ox\) cách gốc tọa độ \(50cm\) về phía phải. Nó bắt đầu chuyển động trên trục \(Ox\) theo hướng dương. Giây đầu tiên nó di chuyển được \(40cm\), giây thứ hai được \(20cm...\), cứ mỗi giấy tiếp theo nó di chuyển một đoạn bằng \(\frac{1}{2}\) đoạn đường đi được trong giây ngay trước đó.

a) Tính khoảng cách từ gốc \(O\) đến chất điểm sau \(5\) giây.

b) Tại thời điểm nào kể từ lúc bắt đầu chuyện động, chất điểm cách \(O\) một khoảng \(135cm\)? Giả thiết rằng chuyển động của chất điểm không bao giờ chấm dứt.

Lời giải chi tiết

a) Dựa vào dữ kiện bài toán ta thấy đoạn đường di chuyển mỗi dây của chất điểm chính là các số hạng của 1 cấp số nhân có \({u_1} = 40\) và \(q = \frac{1}{2}\)

Khi đó khoảng cách từ gốc \(O\) đến chất điểm sau 5 giây chính là

\({S_5} = {u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4} + {u_5} = 40 + 20 + 10 + 5 + \frac{5}{2} = 40.\frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^5}}}{{1 - \frac{1}{2}}} = 77,5\,\,cm\)

b) Áp dụng công thức tính tổng của cấp số nhân là \({S_n} = {u_1}.\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}\) với \({u_1} = 40\) và \(q = \frac{1}{2}\), ta có: \({S_n} = 40.\frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}}}{{1 - \frac{1}{2}}} = 80\left( {1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}} \right)\)

Cách 1: Chất điểm cách gốc O  một đoạn bằng 135 \(cm\) tức là \({S_n} = 135\)

Suy ra: \(80\left( {1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}} \right) = 135 \Leftrightarrow 1 - {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n} = \frac{{17}}{{16}} \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n} = - \frac{{11}}{{16}}\) vô lí

Vậy chất điểm không cách \(O\) một khoảng 135 cm

Cách 2: Ta có \(\lim \,{S_n} = \lim 80\left( {1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}} \right) = 80\) do đó chất điểm chỉ cách gốc \(O\) một khoảng xa nhất là 80 cm nên chất điểm không bao giờ cách O  một khoảng 135 cm