Bài 8.6 trang 63 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá

Bài 8.6 trang 63 SGK Toán 11 tập 2 - Giải chi tiết

Bài 8.6 thuộc chương trình giải tích lớp 11, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế. Bài toán yêu cầu học sinh phải hiểu rõ các khái niệm về đạo hàm, quy tắc tính đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc tìm cực trị, khoảng đơn điệu của hàm số.

Nội dung bài toán

Bài 8.6 trang 63 SGK Toán 11 tập 2 thường có dạng như sau: Cho hàm số y = f(x). Hãy tìm các điểm cực trị và khoảng đơn điệu của hàm số.

Phương pháp giải

1. Bước 1: Tính đạo hàm f'(x): Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm đã học để tìm đạo hàm của hàm số f(x).
2. Bước 2: Tìm các điểm cực trị: Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm nghiệm. Các điểm nghiệm này là các điểm cực trị của hàm số.
3. Bước 3: Xác định loại cực trị: Sử dụng dấu của đạo hàm cấp hai f''(x) hoặc xét dấu của f'(x) xung quanh các điểm nghiệm để xác định loại cực trị (cực đại hoặc cực tiểu).
4. Bước 4: Xác định khoảng đơn điệu: Dựa vào dấu của đạo hàm f'(x) trên các khoảng xác định của hàm số để xác định khoảng đồng biến và khoảng nghịch biến của hàm số.

Ví dụ minh họa

Bài toán: Cho hàm số y = x³ - 3x² + 2. Hãy tìm các điểm cực trị và khoảng đơn điệu của hàm số.

Giải:

• Bước 1: Tính đạo hàm: y' = 3x² - 6x
• Bước 2: Tìm các điểm cực trị: Giải phương trình 3x² - 6x = 0, ta được x = 0 và x = 2.
• Bước 3: Xác định loại cực trị: y'' = 6x - 6. Tại x = 0, y'' = -6 < 0, nên hàm số đạt cực đại tại x = 0. Tại x = 2, y'' = 6 > 0, nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 2.
• Bước 4: Xác định khoảng đơn điệu: Xét dấu của y' trên các khoảng (-∞; 0), (0; 2), (2; +∞). Ta có:
  • Trên khoảng (-∞; 0), y' > 0, nên hàm số đồng biến.
  • Trên khoảng (0; 2), y' < 0, nên hàm số nghịch biến.
  • Trên khoảng (2; +∞), y' > 0, nên hàm số đồng biến.

Vậy, hàm số đạt cực đại tại x = 0 và đạt cực tiểu tại x = 2. Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; 0) và (2; +∞), nghịch biến trên khoảng (0; 2).

Lưu ý khi giải bài tập

• Nắm vững các quy tắc tính đạo hàm.
• Hiểu rõ mối liên hệ giữa đạo hàm và tính đơn điệu, cực trị của hàm số.
• Kiểm tra kỹ các bước giải để tránh sai sót.
• Thực hành giải nhiều bài tập khác nhau để rèn luyện kỹ năng.

Ứng dụng của bài toán

Việc giải bài toán về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm có nhiều ứng dụng thực tế trong các lĩnh vực như kinh tế, kỹ thuật, vật lý,... Ví dụ, trong kinh tế, đạo hàm được sử dụng để tính toán chi phí biên, doanh thu biên và lợi nhuận biên. Trong kỹ thuật, đạo hàm được sử dụng để tối ưu hóa các thiết kế và quy trình sản xuất.

Tổng kết

Bài 8.6 trang 63 SGK Toán 11 tập 2 là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm. Bằng cách nắm vững phương pháp giải và thực hành giải nhiều bài tập, học sinh có thể tự tin giải quyết các bài toán tương tự và ứng dụng kiến thức này vào thực tế.

Giaibaitoan.com hy vọng với lời giải chi tiết và dễ hiểu này, các bạn học sinh sẽ học tập tốt môn Toán 11 và đạt kết quả cao trong các kỳ thi.