Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 11 tập 2. Mục 2 của chương trình Toán 11 tập 2 thường xoay quanh các kiến thức về phép biến hình, bao gồm phép tịnh tiến, phép quay, phép đối xứng trục và phép đối xứng tâm.
Chúng tôi hiểu rằng việc tự giải bài tập có thể gặp nhiều khó khăn. Vì vậy, đội ngũ giaibaitoan.com đã biên soạn bộ giải đáp đầy đủ, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Cho ba số dương a, b1, b2 và \(a \ne 1\). Đặt \(x = {\log _a}{b_1};\,y = {\log _a}{b_2}.\)
Cho ba số dương a, b1, b2 và \(a \ne 1\). Đặt \(x = {\log _a}{b_1};\,y = {\log _a}{b_2}.\)
a) Tính b1, b2 theo a, x, y.
b) Tính \({\log _a}\left( {{b_1}{b_2}} \right),{\log _a}\left( {\frac{{{b_1}}}{{{b_2}}}} \right)\) theo x, y.
Phương pháp giải:
a) Áp dụng: \(\alpha = {\log _a}b\, \Leftrightarrow {a^\alpha } = b\)
b) Thay b1, b2 đã tính ở phần a vào \({\log _a}\left( {{b_1}{b_2}} \right),{\log _a}\left( {\frac{{{b_1}}}{{{b_2}}}} \right)\). Áp dụng: \({a^n}.{a^m} = {a^{n + m}};{a^n}:{a^m} = {a^{n - m}}\) và \({\log _a}\left( {{a^x}} \right) = x\).
Lời giải chi tiết:
a)
\(\begin{array}{l}x = {\log _a}{b_1} \Rightarrow {a^x} = {b_1}\\y = {\log _a}{b_2} \Rightarrow {a^y} = {b_2}\end{array}\)
b) \({\log _a}\left( {{b_1}{b_2}} \right) = {\log _a}\left( {{a^x}.{a^y}} \right) = {\log _a}\left( {{a^{x + y}}} \right) = x + y\)
\({\log _a}\left( {\frac{{{b_1}}}{{{b_2}}}} \right) = {\log _a}\left( {\frac{{{a^x}}}{{{a^y}}}} \right) = {\log _a}\left( {{a^{x - y}}} \right) = x - y\)
Không sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị các biểu thức sau:
a) \(M = {\log _{\frac{1}{2}}}2 + {\log _{\frac{1}{2}}}\frac{2}{3} + {\log _{\frac{1}{2}}}\frac{3}{8};\)
b) \(N = {\log _5}15 - {\log _5}\sqrt 3 - {\log _5}\sqrt {75} .\)
Phương pháp giải:
Áp dụng: \({\log _a}b + {\log _a}c = {\log _a}\left( {bc} \right);{\log _a}b - {\log _a}c = {\log _a}\left( {\frac{b}{c}} \right)\)
Lời giải chi tiết:
a)
\(\begin{array}{l}M = {\log _{\frac{1}{2}}}2 + {\log _{\frac{1}{2}}}\frac{2}{3} + {\log _{\frac{1}{2}}}\frac{3}{8}\\ = {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2.\frac{2}{3}.\frac{3}{8}} \right) = {\log _{\frac{1}{2}}}\frac{1}{2} = 1\end{array}\)
b)
\(\begin{array}{l}N = {\log _5}15 - {\log _5}\sqrt 3 - {\log _5}\sqrt {75} \\ = {\log _5}\left( {15:\sqrt 3 :\sqrt {75} } \right)\\ = {\log _5}1 = 0\end{array}\)
Cho hai số dương a, b và \(a \ne 1\). Đặt \(x = {\log _a}b\). Tính \({\log _a}\left( {{b^\alpha }} \right)\) theo \(x\,\left( {\alpha \in \mathbb{R}} \right)\).
Phương pháp giải:
Từ \(x = {\log _a}b\), biểu diễn b theo a, x. Thay b vừa tìm được vào \({\log _a}\left( {{b^\alpha }} \right)\) để tính.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\begin{array}{l}x = {\log _a}b \Rightarrow {a^x} = b\\ \Rightarrow {\log _a}\left( {{b^\alpha }} \right) = {\log _a}\left( {{{\left( {{a^x}} \right)}^\alpha }} \right) = {\log _a}\left( {{a^{\alpha x}}} \right) = \alpha x\end{array}\)
Không sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị biểu thức:
\(A = {\log _5}\sqrt 3 - \frac{1}{2}{\log _5}12 + 3{\log _5}\sqrt[3]{{50}}.\)
Phương pháp giải:
Áp dụng: \(\alpha {\log _a}b = {\log _a}{b^\alpha }\) và \({\log _a}b + {\log _a}c = {\log _a}\left( {bc} \right);{\log _a}b - {\log _a}c = {\log _a}\left( {\frac{b}{c}} \right)\).
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}A = {\log _5}\sqrt 3 - \frac{1}{2}{\log _5}12 + 3{\log _5}\sqrt[3]{{50}}\\ = {\log _5}\sqrt 3 - {\log _5}\left( {{{12}^{\frac{1}{2}}}} \right) + {\log _5}\left( {{{\left( {\sqrt[3]{{50}}} \right)}^3}} \right)\\ = {\log _5}\sqrt 3 - {\log _5}\left( {\sqrt {12} } \right) + {\log _5}50\\ = {\log _5}\left( {\sqrt 3 :\sqrt {12} .50} \right) = {\log _5}25 = 2\end{array}\)
Cho ba số dương a, b, c, \(a \ne 1\), \(c \ne 1\). Đặt \(x = {\log _c}a;y = {\log _a}b\).
a) Tính a, b và \({\log _c}b\) theo c, x, y.
b) Suy ra hệ thức liên hệ giữa \({\log _a}b,{\log _c}a,{\log _c}b\).
Phương pháp giải:
a) Áp dụng: \({\log _a}b = \alpha \Leftrightarrow {a^\alpha } = b\) và \({\log _a}\left( {{a^b}} \right) = b\).
b) Dựa vào biểu thức tính \({\log _c}b\) theo x, y ở phần a. Thay \(x = {\log _c}a;y = {\log _a}b\) vào biểu thức.
Lời giải chi tiết:
a) \(x = {\log _c}a \Rightarrow {c^x} = a\)
\(y = {\log _a}b \Leftrightarrow {a^y} = b \Leftrightarrow {\left( {{c^x}} \right)^y} = b \Leftrightarrow {c^{xy}} = b\)
\({\log _c}b = {\log _c}\left( {{c^{xy}}} \right) = xy\)
b) Ta có:
\(\begin{array}{l}{\log _c}b = xy\\ \Leftrightarrow {\log _c}b = {\log _a}b.{\log _c}a\end{array}\)
a) Tính giá trị biểu thức \(A = {\log _2}3.{\log _5}4.{\log _{\sqrt 3 }}5\).
b) Cho \(a = {\log _2}5;b = {\log _2}3\). Tính \({\log _3}60\) theo a và b.
Phương pháp giải:
Áp dụng:
a) \({\log _c}a.{\log _a}b = {\log _c}b\); \({\log _a}{b^\alpha } = \alpha {\log _a}b\)
b) \({\log _a}b = \frac{{{{\log }_c}b}}{{{{\log }_c}a}}\); \({\log _a}\left( {bc} \right) = {\log _a}b + {\log _a}c\); \({\log _a}{b^\alpha } = \alpha {\log _a}b\)
Lời giải chi tiết:
a)
\(\begin{array}{l}A = {\log _2}3.{\log _5}4.{\log _{\sqrt 3 }}5\\ = {\log _2}3.\left( {{{\log }_{\sqrt 3 }}5.{{\log }_5}4} \right)\\ = {\log _2}3.{\log _{\sqrt 3 }}4\\ = {\log _2}{\left( {\sqrt 3 } \right)^2}.{\log _{\sqrt 3 }}4\\ = 2{\log _2}\sqrt 3 .{\log _{\sqrt 3 }}4\\ = 2{\log _2}4 = 2.2 = 4\end{array}\)
b) Ta có: \({\log _2}60 = {\log _2}\left( {{2^2}.3.5} \right) = 2{\log _2}2 + {\log _2}3 + {\log _2}5 = 2 + a + b\)
\( \Rightarrow {\log _3}60 = \frac{{{{\log }_2}60}}{{{{\log }_2}3}} = \frac{{2 + a + b}}{b}\)
Mục 2 của SGK Toán 11 tập 2 tập trung vào việc nghiên cứu các phép biến hình trong mặt phẳng. Đây là một phần quan trọng, đặt nền móng cho việc học hình học không gian và các ứng dụng thực tế sau này. Để giải tốt các bài tập trong mục này, học sinh cần nắm vững định nghĩa, tính chất và các công thức liên quan đến từng phép biến hình.
Phép tịnh tiến là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ. Để thực hiện một phép tịnh tiến, ta cần xác định vectơ tịnh tiến. Bài tập về phép tịnh tiến thường yêu cầu tìm ảnh của một điểm, một đường thẳng hoặc một hình qua phép tịnh tiến cho trước.
Phép quay là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho khoảng cách từ M đến tâm quay O bằng khoảng cách từ M’ đến tâm quay O và góc MOM’ bằng góc quay cho trước.
Phép đối xứng trục là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho đường thẳng d (trục đối xứng) là đường trung trực của đoạn thẳng MM’.
Phép đối xứng tâm là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho I (tâm đối xứng) là trung điểm của đoạn thẳng MM’.
Để giải các bài tập trong mục này một cách hiệu quả, bạn nên:
Bài tập: Cho điểm A(1; 2) và vectơ tịnh tiến v = (3; -1). Tìm tọa độ điểm A’ là ảnh của A qua phép tịnh tiến theo vectơ v.
Giải:
Áp dụng công thức: A’(x + a; y + b) = A’(1 + 3; 2 - 1) = A’(4; 1).
Hãy luyện tập thường xuyên và tìm kiếm sự giúp đỡ từ giáo viên hoặc bạn bè khi gặp khó khăn. Việc hiểu rõ bản chất của các phép biến hình sẽ giúp bạn giải quyết các bài tập một cách dễ dàng và tự tin hơn. Chúc bạn học tốt!
| Phép biến hình | Định nghĩa | Tính chất |
|---|---|---|
| Tịnh tiến | Biến mỗi điểm M thành M’ sao cho MM’ = v | Bảo toàn khoảng cách, góc, thứ tự |
| Quay | Biến mỗi điểm M thành M’ sao cho OM = OM’ và góc MOM’ = α | Bảo toàn khoảng cách, góc, thứ tự |
| Đối xứng trục | Biến mỗi điểm M thành M’ sao cho d là đường trung trực của MM’ | Bảo toàn khoảng cách, góc, đổi chiều |
| Đối xứng tâm | Biến mỗi điểm M thành M’ sao cho I là trung điểm của MM’ | Bảo toàn khoảng cách, góc, đổi chiều |
