Chương 2 Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân

Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân - SGK Toán 11

Chương 2 trong sách giáo khoa Toán 11 tập 1, “Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân”, là một phần quan trọng trong chương trình học, đặt nền móng cho việc hiểu và vận dụng các khái niệm toán học phức tạp hơn trong tương lai. Chương này giới thiệu các khái niệm cơ bản về dãy số, các loại dãy số đặc biệt như cấp số cộng và cấp số nhân, cùng với các tính chất và ứng dụng của chúng.

I. Dãy số

1. Định nghĩa: Dãy số là một hàm số được xác định trên tập hợp các số tự nhiên hoặc một tập hợp con của nó. Mỗi số tự nhiên được gán với một số thực, được gọi là số hạng của dãy số.

2. Cách đặt tên dãy số: Dãy số thường được ký hiệu là (u_n), trong đó u_n là số hạng thứ n của dãy số.

3. Dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số không đổi:

• Dãy số (u_n) được gọi là dãy số tăng nếu u_n+1 > u_n với mọi n.
• Dãy số (u_n) được gọi là dãy số giảm nếu u_n+1 < u_n với mọi n.
• Dãy số (u_n) được gọi là dãy số không đổi nếu u_n+1 = u_n với mọi n.

II. Cấp số cộng

1. Định nghĩa: Cấp số cộng là một dãy số mà mỗi số hạng, kể từ số hạng thứ hai, bằng số hạng đứng trước nó cộng với một số không đổi, gọi là công sai (d).

2. Công thức tổng quát: u_n = u₁ + (n-1)d

3. Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng: S_n = n/2 * (u₁ + u_n) = n/2 * [2u₁ + (n-1)d]

III. Cấp số nhân

1. Định nghĩa: Cấp số nhân là một dãy số mà mỗi số hạng, kể từ số hạng thứ hai, bằng số hạng đứng trước nó nhân với một số không đổi, gọi là công bội (q).

2. Công thức tổng quát: u_n = u₁ * q^(n-1)

3. Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân:

• Nếu q = 1: S_n = n * u₁
• Nếu q ≠ 1: S_n = u₁ * (1 - qⁿ) / (1 - q)

IV. Bài tập minh họa

Bài 1: Cho cấp số cộng có u₁ = 2 và d = 3. Tìm u₅ và S₅.

Giải:

• u₅ = u₁ + (5-1)d = 2 + 4*3 = 14
• S₅ = 5/2 * (u₁ + u₅) = 5/2 * (2 + 14) = 40

Bài 2: Cho cấp số nhân có u₁ = 1 và q = 2. Tìm u₆ và S₆.

Giải:

• u₆ = u₁ * q^(6-1) = 1 * 2⁵ = 32
• S₆ = u₁ * (1 - q⁶) / (1 - q) = 1 * (1 - 2⁶) / (1 - 2) = 63

V. Ứng dụng

Các khái niệm về dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân có nhiều ứng dụng trong thực tế, như tính lãi kép, tính số lượng dân số, tính sự tăng trưởng của các hiện tượng tự nhiên, và trong các lĩnh vực khoa học kỹ thuật khác.

VI. Kết luận

Chương 2 “Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân” là một chương học quan trọng trong môn Toán 11. Việc nắm vững các khái niệm và công thức trong chương này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán một cách hiệu quả và tự tin hơn. Hãy luyện tập thường xuyên và tìm kiếm sự giúp đỡ khi cần thiết để đạt được kết quả tốt nhất.