Bài 2.4 trang 49 SGK Toán 11 tập 1 là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 11, tập trung vào việc giải các phương trình lượng giác cơ bản. Bài tập này giúp học sinh rèn luyện kỹ năng biến đổi lượng giác và áp dụng các công thức lượng giác đã học.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho Bài 2.4 trang 49 SGK Toán 11 tập 1, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Xét tính tăng, giảm của các dãy số (un), biết:
Đề bài
Xét tính tăng, giảm của các dãy số (un), biết:
a) \({u_n} = - 4 - \frac{1}{n};\)
b) \({u_n} = \frac{{n - 5}}{{n + 2}};\)
c) \({u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}n!.\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
So sánh \({u_{n + 1}}\) và \({u_n}\)
Nếu \({u_{n + 1}} > {u_n}\forall n\) thì là dãy số tăng.
Nếu \({u_{n + 1}} < {u_n}\forall n\) thì là dãy số giảm.
Lời giải chi tiết
a)
\(\begin{array}{l}{u_{n + 1}} - {u_n} = - 4 - \frac{1}{{n + 1}} - \left( { - 4 - \frac{1}{n}} \right) = \frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}} > 0\\ \Rightarrow {u_{n + 1}} > {u_n}\forall n\end{array}\)
Vậy dãy số đã cho là dãy số tăng.
b)
\(\begin{array}{l}{u_n} = \frac{{n - 5}}{{n + 2}} = 1 - \frac{7}{{n + 2}}\\{u_{n + 1}} - {u_n} = 1 - \frac{7}{{n + 3}} - \left( {1 - \frac{7}{{n + 2}}} \right) = \frac{7}{{n + 2}} - \frac{7}{{n + 3}} = 7\left( {\frac{1}{{n + 2}} - \frac{1}{{n + 3}}} \right) > 0\\ \Rightarrow {u_{n + 1}} > {u_n}\forall n\end{array}\)
Vậy dãy số đã cho là dãy số tăng.
c)
\(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n + 1}}\left( {n + 1} \right)!}}{{{{\left( { - 1} \right)}^n}n!}} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}.\left( { - 1} \right)n!\left( {n + 1} \right)}}{{{{\left( { - 1} \right)}^n}n!}} = - \left( {n + 1} \right)<0\)
Do đó, \( - \left( {n + 1} \right) < 1\)
\( \Rightarrow {u_{n + 1}} < {u_n}\forall n\)
Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm.
Bài 2.4 trang 49 SGK Toán 11 tập 1 yêu cầu giải các phương trình lượng giác sau:
Để giải các phương trình lượng giác này, chúng ta cần sử dụng các kiến thức về:
Ta có: x - π/6 = arcsin(-√3/2) + k2π = -π/3 + k2π hoặc x - π/6 = π - arcsin(-√3/2) + k2π = π + π/3 + k2π = 4π/3 + k2π (k ∈ Z).
Suy ra: x = -π/3 + π/6 + k2π = -π/6 + k2π hoặc x = 4π/3 + π/6 + k2π = 9π/6 + k2π = 3π/2 + k2π (k ∈ Z).
Ta có: 2x + π/3 = cos-1(0) + kπ = π/2 + kπ (k ∈ Z).
Suy ra: 2x = π/2 - π/3 + kπ = π/6 + kπ (k ∈ Z).
Suy ra: x = π/12 + kπ/2 (k ∈ Z).
Ta có: x + π/4 = arctan(1) + kπ = π/4 + kπ (k ∈ Z).
Suy ra: x = π/4 - π/4 + kπ = kπ (k ∈ Z).
Ta có: 3x - π/2 = arccot(-1) + kπ = 3π/4 + kπ (k ∈ Z).
Suy ra: 3x = 3π/4 + π/2 + kπ = 5π/4 + kπ (k ∈ Z).
Suy ra: x = 5π/12 + kπ/3 (k ∈ Z).
Bài 2.4 trang 49 SGK Toán 11 tập 1 là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về phương trình lượng giác. Việc nắm vững các kiến thức và kỹ năng giải bài tập này sẽ giúp các em học sinh tự tin hơn trong quá trình học tập môn Toán.
Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn giải trên, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về Bài 2.4 trang 49 SGK Toán 11 tập 1 và có thể tự giải các bài tập tương tự một cách dễ dàng.
