Bài 1. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Bài 1. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian - SGK Toán 11: Tổng quan và Phương pháp giải

Bài 1. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian là một trong những chủ đề quan trọng của chương trình Hình học không gian lớp 11. Bài học này giới thiệu các khái niệm cơ bản về đường thẳng, mặt phẳng, vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, cũng như các tính chất quan trọng liên quan đến quan hệ song song.

I. Các khái niệm cơ bản

1. Đường thẳng trong không gian:

• Đường thẳng được xác định bởi một điểm và một hướng.
• Một đường thẳng có thể được biểu diễn bằng phương trình tham số hoặc phương trình chính tắc.

2. Mặt phẳng trong không gian:

• Mặt phẳng được xác định bởi ba điểm không thẳng hàng hoặc một điểm và một vectơ pháp tuyến.
• Một mặt phẳng có thể được biểu diễn bằng phương trình tổng quát.

II. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng

Có ba trường hợp vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một mặt phẳng:

1. Đường thẳng nằm trong mặt phẳng.
2. Đường thẳng song song với mặt phẳng.
3. Đường thẳng cắt mặt phẳng.

Để xác định vị trí tương đối, ta thường sử dụng vectơ chỉ phương của đường thẳng và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Nếu tích vô hướng của hai vectơ này bằng 0, thì đường thẳng song song hoặc nằm trong mặt phẳng. Nếu tích vô hướng khác 0, thì đường thẳng cắt mặt phẳng.

III. Quan hệ song song

1. Hai đường thẳng song song:

• Hai đường thẳng song song nếu chúng không cắt nhau và không đồng phẳng.
• Điều kiện để hai đường thẳng song song là vectơ chỉ phương của chúng cùng phương.

2. Đường thẳng song song với mặt phẳng:

• Đường thẳng song song với mặt phẳng nếu nó không cắt mặt phẳng và không nằm trong mặt phẳng.
• Điều kiện để đường thẳng song song với mặt phẳng là tích vô hướng của vectơ chỉ phương của đường thẳng và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng bằng 0.

IV. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho đường thẳng d: x = 1 + t, y = 2 - t, z = 3 + 2t và mặt phẳng (P): 2x - y + z - 5 = 0. Xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P).

Giải:

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là a = (1, -1, 2). Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n = (2, -1, 1).

Tích vô hướng a.n = 1*2 + (-1)*(-1) + 2*1 = 2 + 1 + 2 = 5 ≠ 0. Do đó, đường thẳng d cắt mặt phẳng (P).

Bài 2: Cho hai đường thẳng d1: x = 2 + t, y = 1 - t, z = 3 + 2t và d2: x = 1 + 2t, y = 3 - 2t, z = 5 + t. Xác định xem hai đường thẳng này có song song hay không.

Giải:

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d1 là a1 = (1, -1, 2). Vectơ chỉ phương của đường thẳng d2 là a2 = (2, -2, 1).

Ta thấy a2 = 2a1, do đó hai vectơ này cùng phương. Vậy hai đường thẳng d1 và d2 song song.

V. Lời khuyên khi học bài

Để nắm vững kiến thức về Bài 1. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, các em cần:

• Hiểu rõ các khái niệm cơ bản về đường thẳng, mặt phẳng và vectơ.
• Nắm vững các công thức tính tích vô hướng và ứng dụng của nó trong việc xác định vị trí tương đối.
• Luyện tập nhiều bài tập để rèn luyện kỹ năng giải toán.

Chúc các em học tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!