Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Phép chiếu song song trong chương trình SGK Toán 11 tại giaibaitoan.com. Đây là một phần kiến thức quan trọng, đặt nền móng cho việc hiểu sâu hơn về hình học không gian.
Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá định nghĩa, tính chất, và ứng dụng của phép chiếu song song, đồng thời luyện tập thông qua các bài tập minh họa.
I. Phép chiếu song song
I. Phép chiếu song song
- Trong không gian, cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và đường thẳng \(\Delta \) cắt \(\left( \alpha \right)\). Với mỗi điểm M trong không gian, đường thẳng đi qua M và song song hoặc trùng với \(\Delta \) sẽ cắt \(\left( \alpha \right)\) tại điểm M’ xác định. Điểm M’ được gọi là hình chiếu song song (hoặc ảnh) của điểm M trên mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) theo phương\(\Delta \).
Phép đặt tương ứng mỗi điểm M trong không gian với hình chiếu M” của nó trên mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) được gọi là phép chiếu song song lên \(\left( \alpha \right)\) theo phương \(\Delta \).
Nếu H là một hình nào đó thì tập hợp H’ các ảnh M’ của tất cả những điểm M thuộc H được gọi là hình chiếu song song (hoặc ảnh) của H qua phép chiếu song song nói trên.
- Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) gọi là mặt phẳng chiếu, đường thẳng \(\Delta \) gọi là phương chiếu.
II. Tính chất cơ bản của phép chiếu song song
- Phép chiếu song song biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự 3 điểm đó.
- Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, tia thành tia, đoạn thẳng thành đoạn thẳng, biến tia thành tia.
- Phép chiếu song song biến 2 đường thẳng song song thành 2 đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
- Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng cùng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
III. Hình biểu diễn của một hình không gian
- Nếu trên hình có 2 đoạn thẳng nằm trên 2 đường thẳng song song (trùng nhau) thì chúng được biểu diễn bằng 2 đoạn thẳng nằm trên 2 đường thẳng song song (trùng nhau) và tỉ số độ dài của 2 đoạn thẳng không đổi.
- Nếu hình phẳng nằm trong mặt phẳng không song song với phương chiếu thì:
+ Hình biểu diễn của một đường tròn là một elip.
+ Hình biểu diễn của một tam giác (vuông, cân, đều) là một tam giác.
+ Hình biểu diễn của hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi, hình bình hành là hình bình hành.
Phép chiếu song song là một phép biến hình quan trọng trong hình học không gian, đóng vai trò then chốt trong việc nghiên cứu các đối tượng hình học ba chiều. Hiểu rõ lý thuyết này giúp học sinh có cái nhìn trực quan và sâu sắc hơn về không gian, đồng thời làm nền tảng cho các kiến thức nâng cao hơn.
Phép chiếu song song lên một mặt phẳng (P) theo phương l là một phép biến hình biến mỗi điểm M trong không gian thành điểm M' trên (P) sao cho đường thẳng MM' song song với l.
Phép chiếu song song bảo toàn:
Tuy nhiên, phép chiếu song song không bảo toàn khoảng cách và góc.
Khi phương chiếu l vuông góc với mặt phẳng chiếu (P), ta có phép chiếu vuông góc. Trong trường hợp này, hình chiếu của một điểm M lên (P) là giao điểm của đường thẳng vuông góc với (P) tại M và (P).
Khi phương chiếu l không vuông góc với mặt phẳng chiếu (P), ta có phép chiếu xiên. Hình chiếu của một điểm M lên (P) là giao điểm của đường thẳng song song với l qua M và (P).
Phép chiếu song song có nhiều ứng dụng trong thực tế và trong các lĩnh vực khác nhau:
Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABCD. Hãy xác định hình chiếu song song của đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) theo phương vuông góc với (ABCD).
Bài tập 2: Cho hai đường thẳng song song a và b. Hãy chứng minh rằng hình chiếu song song của a và b lên một mặt phẳng (P) cũng là hai đường thẳng song song.
Để hiểu sâu hơn về phép chiếu song song, bạn có thể tìm hiểu thêm về:
Lý thuyết Phép chiếu song song là một phần kiến thức quan trọng trong chương trình Toán 11. Việc nắm vững lý thuyết này không chỉ giúp bạn giải quyết các bài tập trong sách giáo khoa mà còn mở ra cánh cửa để khám phá những ứng dụng thú vị của hình học trong thực tế. Hãy luyện tập thường xuyên và tìm hiểu thêm các tài liệu tham khảo để củng cố kiến thức của mình.
