Chào mừng bạn đến với chuyên mục Lý thuyết Logarit - SGK Toán 11 của giaibaitoan.com. Chúng tôi cung cấp kiến thức đầy đủ, chính xác và dễ hiểu, giúp bạn nắm vững các khái niệm cơ bản và nâng cao về logarit.
Với đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm, chúng tôi cam kết mang đến cho bạn những bài giảng chất lượng, bài tập đa dạng và phương pháp học tập hiệu quả nhất.
A. Lý thuyết 1. Khái niệm logarit a) Định nghĩa
A. Lý thuyết
1. Khái niệm logarit
a) Định nghĩa
Cho hai số thực dương a, b và a khác 1. Số thực \(\alpha \) thỏa mãn đẳng thức \({a^\alpha } = b\) được gọi là logarit cơ số a của b, kí hiệu \({\log _a}b\), nghĩa là \(\alpha = {\log _a}b \Leftrightarrow {a^\alpha } = b\). |
Lưu ý:
- Không tồn tại logarit của số âm và số 0.
- Logarit cơ số 10 của một số dương b là logarit thập phân của b, ký hiệu logb hay lgb.
- Logarit cơ số e của một số dương b là logarit tự nhiên (hay logarit Nê-pe) của b, ký hiệu lnb.
b) Tính chất
Cho a là một số dương khác 1, b là một số dương và số thực \(\alpha \). +) \({\log _a}1 = 0\) +) \({\log _a}a = 1\) +) \({a^{{{\log }_a}b}} = b\) +) \({\log _a}({a^\alpha }) = \alpha \) |
2. Quy tắc tính logarit
a) Logarit của một tích và logarit của một thương
Cho ba số dương a, \({b_1}\), \({b_2}\) và \(a \ne 1\). Khi đó: +) \({\log _a}({b_1}{b_2}) = {\log _a}{b_1} + {\log _a}{b_2}\) +) \({\log _a}\left( {\frac{{{b_1}}}{{{b_2}}}} \right) = {\log _a}{b_1} - {\log _a}{b_2}\) |
Lưu ý: \({\log _a}\frac{1}{b} = - {\log _a}b\).
b) Logarit của một lũy thừa
Cho hai số dương a, b với \(a \ne 1\). Với mọi \(\alpha \), ta có: \({\log _\alpha }{b^\alpha } = \alpha {\log _a}b\). |
Lưu ý : \({\log _a}\sqrt[n]{b} = \frac{1}{n}{\log _a}b\) \((n \in \mathbb{N},n \ge 2)\).
c) Đổi cơ số
Cho ba số thực dương a, b, c với \(a \ne 1\). Khi đó: \({\log _a}b = \frac{{{{\log }_c}b}}{{{{\log }_c}a}}\) hay \({\log _c}b = {\log _c}a{\log _a}b\). |
Lưu ý:
- Với a, b là hai số thực dương khác 1, ta có \({\log _a}b = \frac{1}{{{{\log }_b}a}}\) hay \({\log _a}b.{\log _b}a = 1\).
- Với a là một số dương khác 1, b là số thực dương và \(\alpha \ne 0\), ta có \({\log _{{a^\alpha }}} = \frac{1}{\alpha }{\log _a}b\).
3. Một số ứng dụng trong thực tế
a) Độ mạnh của động đất
\(R = \log \frac{A}{{{A_0}}}\) (độ Richter).
b) Độ pH trong hóa học
\(pH = - \log [{H^ + }]\).
B. Bài tập
Bài 1: Tính:
a) \({\log _2}8\).
b) \({\log _{\frac{1}{2}}}4\).
c) \({\log _3}\frac{1}{{27}}\).
Giải:
a) \({\log _2}8 = 3\) vì \({2^3} = 8\).
b) \({\log _{\frac{1}{2}}}4 = - 2\) vì \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - 2}} = 4\).
c) \({\log _3}\frac{1}{{27}} = - 3\) vì \({3^{ - 3}} = \frac{1}{{27}}\).
Bài 2: Tính:
a) \({3^{2{{\log }_3}5}}\).
b) \({\log _{\frac{1}{2}}}\sqrt {\frac{1}{8}} \).
Giải:
a) \({3^{2{{\log }_3}5}} = {({3^{{{\log }_3}5}})^2} = {5^2} = 25\).
b) \({\log _{\frac{1}{2}}}\sqrt {\frac{1}{8}} = {\log _{\frac{1}{2}}}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{3}{2}}} = \frac{3}{2}\).
Bài 3: Không sử dụng máy tính cầm tay, tính các giá trị biểu thức sau:
a) \(A = {\log _6}3 + {\log _6}12\).
b) \(B = {\log _7}21 - {\log _7}147\).
Giải:
a) \(A = {\log _6}3 + {\log _6}12 = {\log _6}(3.12) = {\log _6}(36) = 2\).
b) \(B = {\log _7}21 - {\log _7}147 = {\log _7}\frac{{21}}{{147}} = {\log _7}\frac{1}{7} = {\log _7}{7^{ - 1}} = - 1\).
Bài 4: Cho \(a = {\log _3}x\); \(b = {\log _3}y\); \(c = {\log _3}z\). Tính \({\log _3}\left( {\frac{{\sqrt[3]{x}}}{{{y^2}.{z^4}}}} \right)\) theo a, b, c.
Giải:
\({\log _3}\left( {\frac{{\sqrt[3]{x}}}{{{y^2}.{z^4}}}} \right) = {\log _3}\sqrt[3]{x} - ({\log _3}{y^2} + {\log _3}{z^4}) = \frac{1}{3}{\log _3}x - (2{\log _3}y + 4{\log _3}z) = \frac{1}{3}a - 2b - 4c\).
Bài 5:
a) Không sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị biểu thức \({\log _{\frac{1}{4}}}({\log _3}4.{\log _2}3)\).
b) Cho \(\alpha = {\log _3}45\). Tính \({\log _{45}}5\) theo a.
Giải:
a) \({\log _{\frac{1}{4}}}({\log _3}4.{\log _2}3) = {\log _{\frac{1}{4}}}(2{\log _3}2.{\log _2}3) = {\log _{\frac{1}{4}}}2 = {\log _{{2^{ - 2}}}}2 = - \frac{1}{2}\).
b) Ta có \(\alpha = {\log _3}45 = {\log _3}({3^2}.5) = 2{\log _3}3 + {\log _3}5 = 2 + {\log _3}5\).
Suy ra \({\log _3}5 = \alpha - 2\). Vậy \({\log _{45}}5 = \frac{{{{\log }_3}5}}{{{{\log }_3}45}} = \frac{{\alpha - 2}}{\alpha }\).
Logarit là một khái niệm quan trọng trong toán học, đặc biệt là trong chương trình Toán 11. Nó là công cụ mạnh mẽ để giải quyết nhiều bài toán liên quan đến lũy thừa và các bài toán thực tế. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn tổng quan về lý thuyết logarit, bao gồm định nghĩa, tính chất, các dạng logarit đặc biệt và ứng dụng của nó.
Logarit của một số dương b theo cơ số a (với a > 0 và a ≠ 1) là số x sao cho ax = b. Ký hiệu: logab = x.
Logarit có nhiều tính chất quan trọng giúp đơn giản hóa các phép tính và giải quyết bài toán. Dưới đây là một số tính chất cơ bản:
Có một số dạng logarit đặc biệt thường gặp:
Hàm số logarit là hàm số có dạng y = logax (với a > 0 và a ≠ 1). Hàm số logarit có các đặc điểm sau:
Việc giải phương trình và bất phương trình logarit đòi hỏi sự hiểu biết sâu sắc về định nghĩa và tính chất của logarit. Một số phương pháp giải thường được sử dụng:
Logarit có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau, bao gồm:
Để củng cố kiến thức về lý thuyết logarit, bạn có thể thực hành giải các bài tập sau:
| Bài tập | Đáp án |
|---|---|
| Tính log28 | 3 |
| Giải phương trình log3(x+2) = 2 | x = 7 |
Lý thuyết Logarit - SGK Toán 11 là một phần quan trọng của chương trình học. Việc nắm vững kiến thức này sẽ giúp bạn giải quyết nhiều bài toán và ứng dụng trong thực tế. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những thông tin hữu ích và giúp bạn hiểu rõ hơn về logarit.
