Bài 4. Khoảng cách

Bài 4. Khoảng cách - SGK Toán 11: Lý thuyết và Phương pháp Giải

Bài 4 trong SGK Toán 11 tập 2, Chương VIII, Quan hệ vuông góc trong không gian, xoay quanh việc tính toán khoảng cách trong không gian. Đây là một phần quan trọng của hình học không gian, đòi hỏi học sinh phải nắm vững các khái niệm và công thức liên quan.

1. Khái niệm Khoảng cách trong Không gian

Khoảng cách trong không gian là độ dài đoạn thẳng nối hai điểm trong không gian. Để tính khoảng cách, chúng ta sử dụng công thức dựa trên tọa độ của các điểm hoặc áp dụng các định lý và tính chất hình học.

2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Để tính khoảng cách d từ điểm M(x₀, y₀, z₀) đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0, ta sử dụng công thức:

d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²)

Công thức này dựa trên việc tìm hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (P) và tính độ dài đoạn thẳng nối M với hình chiếu đó.

3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song

Nếu hai đường thẳng d₁ và d₂ song song, khoảng cách giữa chúng được tính bằng khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên d₁ đến đường thẳng d₂.

Để tính khoảng cách này, ta có thể chọn một điểm M thuộc d₁, sau đó tính khoảng cách từ M đến d₂ bằng công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.

4. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Đây là trường hợp phức tạp hơn. Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d₁ và d₂, ta thực hiện các bước sau:

Tìm một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa d₁ và song song với d₂.
Tìm một điểm M thuộc d₁.
Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng vừa tìm được. Khoảng cách này chính là khoảng cách giữa hai đường thẳng d₁ và d₂.

5. Bài tập minh họa

Ví dụ 1: Tính khoảng cách từ điểm A(1, 2, 3) đến mặt phẳng (P): 2x - y + z + 1 = 0.

Áp dụng công thức, ta có:

d = |2(1) - 2 + 3 + 1| / √(2² + (-1)² + 1²) = |4| / √6 = 4/√6 = (4√6)/6 = (2√6)/3

Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng song song d₁: x = 1 + t, y = 2 + t, z = 3 + t và d₂: x = 2 + t, y = 3 + t, z = 4 + t. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng này.

Chọn điểm M(1, 2, 3) thuộc d₁. Tính khoảng cách từ M đến d₂. Phương trình tham số của d₂ là x = 2 + t, y = 3 + t, z = 4 + t. Vectơ chỉ phương của d₂ là (1, 1, 1). Vectơ M = (2-1, 3-2, 4-3) = (1, 1, 1). Khoảng cách d = ||M x (1,1,1)|| / ||(1,1,1)|| = 0. Điều này có nghĩa là điểm M nằm trên đường thẳng d2, do đó hai đường thẳng trùng nhau, không phải song song. Cần kiểm tra lại đề bài.