Chào mừng các em học sinh đến với chuyên mục giải bài tập Toán 11 tập 2 của giaibaitoan.com. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng nhau giải chi tiết các bài tập trong mục 3 trang 60, 61, 62 của sách giáo khoa Toán 11 tập 2.
Mục tiêu của chúng tôi là cung cấp cho các em những lời giải chính xác, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Tìm hình chiều của các điểm \(A',C',D'\) lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) theo phương của đường thẳng \(BB'\)
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Tìm hình chiều của các điểm \(A',C',D'\) lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) theo phương của đường thẳng \(BB'\)
Phương pháp giải:
Tìm đường thẳng song song với đường thẳng \(BB'\) xuất phát từ các điểm \(A',C',D'\)
Lời giải chi tiết:
Hình chiếu lần lượt là \(A,C,D\)
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông. Biết rằng hình chiếu của \(S\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là trung điểm \(H\) của cạnh \(AD\). Xác định hình chiếu của:
a) Tam giác \(SBC\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\)
b) Các cạnh \(SB\) và \(SC\) trên mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\)
Phương pháp giải:
a) Tìm hình chiếu của \(S\) lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là xong vì \(B,C \in \left( {ABCD} \right)\)
b) Chứng minh \(BA,CD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow \)\(A,D\) là hình chiếu của \(B\) và \(C\) trên \(\left( {SAD} \right)\)
Lời giải chi tiết:
a) Ta có \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(S\) lên \(\left( {ABCD} \right)\)
Vì \(B,C \in \left( {ABCD} \right)\) nên hình chiếu của \(\Delta SBC\) lên \(\left( {ABCD} \right)\) là \(\Delta HBC\)
b) Vì \(SH \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SH \bot AB,SH \bot CD\)
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot SH\\AB \bot AD\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow \) Hình chiếu vuông góc của \(B\) lên \(\left( {SAD} \right)\) là \(A\)
Vậy hình chiếu của \(SB\) lên \(\left( {SAD} \right)\) là \(SA\)
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot SH\\CD \bot AD\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow \) Hình chiếu vuông góc của \(C\) lên \(\left( {SAD} \right)\) là \(D\)
Vậy hình chiếu của \(SC\) lên \(\left( {SAD} \right)\) là \(SD\)
Cho đường thẳng \(b\) không nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và không vuông góc với \(\left( \alpha \right)\). Gọi \(A,B\) là hai điểm phân biệt trên \(b\) và \(A',B'\) lần lượt là hình chiếu của \(A,B\) trên \(\left( \alpha \right)\). Gọi \(b'\) là đường thẳng đi qua \(A',B'\) thì \(b'\) là hình chiếu vuông góc của \(b\) trên mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\). Xét \(a\) là một đường thẳng nằm tròn \(\left( \alpha \right)\).
a) Nếu \(a \bot b'\) thì \(a\) có vuông góc với \(b\) không? Vì sao?
b) Nếu \(a \bot b\) thì \(a\) có vuông góc với \(b'\) không? Vì sao?
Phương pháp giải:
Chứng minh \(a \bot AA'\)
Chứng minh \(a \bot \left( {AA'B'B} \right)\) từ đó suy ra \(a \bot b'\) và \(a \bot b\)
Lời giải chi tiết:
a) Vì \(\left\{ \begin{array}{l}AA' \bot \left( \alpha \right)\\a \subset \left( \alpha \right)\end{array} \right. \Rightarrow AA' \bot a\)
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}a \bot b'\\a \bot AA'\end{array} \right. \Rightarrow a \bot \left( {AA'B'B} \right)\). Mà \(b \subset \left( {AA'B'B} \right) \Rightarrow a \bot b\)
b) Vì \(\left\{ \begin{array}{l}AA' \bot \left( \alpha \right)\\a \subset \left( \alpha \right)\end{array} \right. \Rightarrow AA' \bot a\)
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}a \bot b\\a \bot AA'\end{array} \right. \Rightarrow a \bot \left( {AA'B'B} \right)\). Mà \(b' \subset \left( {AA'B'B} \right) \Rightarrow a \bot b'\)
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác cân đỉnh \(B\) và hình chiếu của \(S\) trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\). Chứng minh rằng các đường thẳng \(AC\) và \(SB\) vuông góc với nhau.
Phương pháp giải:
Lấy \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\). Chứng minh \(BG\) là hình chiếu vuông góc của \(SB\) xuống \(\left( {ABC} \right)\) kết hợp với \(AC \bot BG\) từ đó suy ra \(AC \bot SB\)
Lời giải chi tiết:
Gọi \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\). Ta có \(SG \bot \left( {ABC} \right)\) (gt), suy ra \(BG\) là hình chiếu vuông góc của \(SG\) xuống \(\left( {ABC} \right)\) \(\left( 1 \right)\)
Vì \(\Delta \)\(ABC\) cân tại \(B\) suy ra \(BG \bot AC\) \(\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\), suy ra \(AC \bot SB\) (định lý ba đường vuông góc)
Mục 3 trong SGK Toán 11 tập 2 thường tập trung vào một chủ đề cụ thể trong chương trình học. Để giải quyết hiệu quả các bài tập trong mục này, học sinh cần nắm vững lý thuyết, công thức và phương pháp giải liên quan. Việc hiểu rõ bản chất của vấn đề là yếu tố then chốt để đạt được kết quả tốt nhất.
Bài 1 thường là bài tập áp dụng trực tiếp các kiến thức lý thuyết đã học. Ví dụ, bài tập có thể yêu cầu tính đạo hàm của một hàm số, tìm cực trị của hàm số, hoặc giải phương trình đạo hàm. Để giải bài tập này, học sinh cần xác định đúng công thức đạo hàm cần sử dụng và thực hiện các phép tính một cách cẩn thận.
Bài 2 có thể là bài tập nâng cao hơn, yêu cầu học sinh phải vận dụng linh hoạt các kiến thức đã học để giải quyết vấn đề. Ví dụ, bài tập có thể yêu cầu tìm điều kiện để hàm số có cực trị, hoặc giải bài toán tối ưu. Trong trường hợp này, học sinh cần phân tích kỹ đề bài, xác định các yếu tố quan trọng và xây dựng phương án giải phù hợp.
Bài 3 thường là bài tập tổng hợp, kết hợp nhiều kiến thức khác nhau. Ví dụ, bài tập có thể yêu cầu giải một bài toán thực tế liên quan đến đạo hàm. Để giải bài tập này, học sinh cần có khả năng tư duy logic, phân tích và tổng hợp thông tin.
Bài tập: Tìm đạo hàm của hàm số f(x) = x2 + 2x + 1.
Giải:
f'(x) = 2x + 2
Ngoài SGK Toán 11 tập 2, học sinh có thể tham khảo thêm các tài liệu sau:
Hy vọng rằng với những hướng dẫn chi tiết và phương pháp giải hiệu quả trên đây, các em học sinh sẽ tự tin hơn trong việc giải các bài tập trong mục 3 trang 60, 61, 62 SGK Toán 11 tập 2. Chúc các em học tập tốt!
