Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 11. Mục 2 của SGK Toán 11 tập 1 thường chứa các bài tập về các khái niệm cơ bản của lượng giác, hàm số lượng giác và ứng dụng của chúng.
Chúng tôi hiểu rằng việc tự giải bài tập đôi khi gặp khó khăn, đặc biệt là với những học sinh mới làm quen với môn Toán. Vì vậy, đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm của giaibaitoan.com đã biên soạn bộ giải bài tập này để giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong học tập.
a) Từ định nghĩa của \(\sin \alpha \)và \(\cos \alpha \), hãy tính \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha \). b) Từ định nghĩa của \(\tan \alpha \) và \(\cot \alpha \), hãy tính \(\tan \alpha .\cot \alpha \).
a) Từ định nghĩa của \(\sin \alpha \)và \(\cos \alpha \), hãy tính \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha \).
b) Từ định nghĩa của \(\tan \alpha \) và \(\cot \alpha \), hãy tính \(\tan \alpha .\cot \alpha \).
Phương pháp giải:
Lời giải chi tiết:
Cường độ ánh sáng I đi xuyên qua một màn lọc ánh sáng được tính bởi công thức \(I = {I_m} - \frac{{{I_m}}}{{1 + {{\cot }^2}\alpha }}\), trong đó Im là cường độ ánh sáng đã chiếu lên màn lọc ánh sáng và là góc \(\alpha \) như trong Hình 1.21 (nguồn: http://www.vedantu.com/iit-jee/malus-law). Chứng minh rằng: \(I = {I_m}{\cos ^2}\alpha \).
Phương pháp giải:
Áp dụng các hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác.
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}I = {I_m} - \frac{{{I_m}}}{{1 + {{\cot }^2}\alpha }} = {I_m}\left( {1 - \frac{1}{{1 + {{\cot }^2}\alpha }}} \right) = {I_m}.\left( {1 - \frac{1}{{\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}}}} \right)\\ = {I_m}.\left( {1 - {{\sin }^2}\alpha } \right) = {I_m}.{\cos ^2}\alpha \end{array}\)
a) Dựa vào Hình 1.22, hãy so sánh \(\cos \left( { - \alpha } \right)\) và \(\cos \left( \alpha \right)\); \(\sin \left( { - \alpha } \right)\) và \(\sin \left( \alpha \right)\).
b) Từ đó so sánh \(\tan \left( { - \alpha } \right)\) và \(\tan \left( \alpha \right)\); \(\cot \left( { - \alpha } \right)\) và \(\cot \left( \alpha \right)\).
Phương pháp giải:
a) Quan sát hình vẽ.
b) Áp dụng các hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác.
Lời giải chi tiết:
a) Dựa vào Hình 1.22, ta thấy:
\(\cos \left( { - \alpha } \right)\) = \(\cos \left( \alpha \right)\)
\(\sin \left( { - \alpha } \right) = - \sin \left( \alpha \right)\)
b)
\(\begin{array}{l}\tan \left( { - \alpha } \right) = \frac{{\sin \left( { - \alpha } \right)}}{{\cos \left( { - \alpha } \right)}} = \frac{{ - \sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = - \tan \alpha \\\cot \left( { - \alpha } \right) = \frac{{\cos \left( { - \alpha } \right)}}{{\sin \left( { - \alpha } \right)}} = \frac{{\cos \alpha }}{{ - \sin \alpha }} = - \cot \alpha \end{array}\)
a) Dựa vào Hình 1.23, hãy so sánh \(\sin \left( {\pi - \alpha } \right)\) và \(\sin \left( \alpha \right)\); \(\cos \left( {\pi - \alpha } \right)\) và \(\cos \left( \alpha \right)\).
b) Từ đó so sánh \(\tan \left( {\pi - \alpha } \right)\) và \(\tan \left( \alpha \right)\); \(\cot \left( {\pi - \alpha } \right)\) và \(\cot \left( \alpha \right)\).
Phương pháp giải:
a) Quan sát hình vẽ.
b) Áp dụng các hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác.
Lời giải chi tiết:
a) Dựa vào Hình 1.23, ta thấy:
\(\sin \left( {\pi - \alpha } \right)\) = \(\sin \left( \alpha \right)\)
\(\cos \left( {\pi - \alpha } \right) = - \cos \left( \alpha \right)\)
b) \(\tan \left( {\pi - \alpha } \right) = \frac{{\sin \left( {\pi - \alpha } \right)}}{{\cos \left( {\pi - \alpha } \right)}} = \frac{{\sin \alpha }}{{ - \cos \alpha }} = - \tan \alpha \)
\(\cot \left( {\pi - \alpha } \right) = \frac{1}{{\tan \left( {\pi - \alpha } \right)}} = \frac{1}{{ - \tan \alpha }} = - \cot \alpha \)
a) Dựa vào Hình 1.24, hãy so sánh \(\sin \left( {\alpha + \pi } \right)\) và \(\sin \left( \alpha \right)\); \({\rm{cos}}\left( {\alpha + \pi } \right)\) và \(\cos \left( \alpha \right)\).
b) Từ đó so sánh \(\tan \left( {\alpha + \pi } \right)\) và \(\tan \left( \alpha \right)\); \(\cot \left( {\alpha + \pi } \right)\) và \(\cot \left( \alpha \right)\).
Phương pháp giải:
a) Quan sát hình vẽ.
b) Áp dụng các hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác.
Lời giải chi tiết:
a) Dựa vào Hình 1.24, ta thấy:
\(\sin \left( {\alpha + \pi } \right) = - \sin \alpha \)
\({\rm{cos}}\left( {\alpha + \pi } \right) = - \cos \alpha \)
b) \(\tan \left( {\alpha + \pi } \right) = \frac{{\sin \left( {\alpha + \pi } \right)}}{{\cos \left( {\alpha + \pi } \right)}} = \frac{{ - \sin \alpha }}{{ - \cos \alpha }} = \tan \alpha \)
\(\cot \left( {\alpha + \pi } \right) = \frac{{\cos \left( {\alpha + \pi } \right)}}{{\sin \left( {\alpha + \pi } \right)}} = \frac{{ - \cos \alpha }}{{ - \sin \alpha }} = \cot \alpha \)
a) Dựa vào Hình 1.25, hãy so sánh \(\sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)\) và \(\cos \left( \alpha \right)\); \({\rm{cos}}\left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)\) và \(\sin \left( \alpha \right)\).
b) Từ đó so sánh \(\tan \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)\) và \(\cot \left( \alpha \right)\); \(\cot \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)\) và \(\tan \left( \alpha \right)\).
Phương pháp giải:
a) Quan sát hình vẽ.
b) Áp dụng các hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác.
Lời giải chi tiết:
a) Dựa vào Hình 1.25, ta thấy:
\(\sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)\) = \(\cos \left( \alpha \right)\)
\({\rm{cos}}\left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)\) = \(\sin \left( \alpha \right)\)
b) \(\tan \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \frac{{\sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)}}{{\cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)}} = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \cot \alpha \)
\(\cot \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \frac{{\cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)}}{{\sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)}} = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \tan \alpha \)
Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc \(\alpha \):
\(B = {\sin ^2}\left( {\alpha + \pi } \right) + {\sin ^2}\left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) + \cos \left( { - \alpha } \right) + \cos \left( {\pi - \alpha } \right)\)
Phương pháp giải:
Áp dụng các hệ thức giữa giá trị lượng giác của các góc lượng giác có liên quan đặc biệt.
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}B = {\sin ^2}\left( {\alpha + \pi } \right) + {\sin ^2}\left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) + \cos \left( { - \alpha } \right) + \cos \left( {\pi - \alpha } \right)\\ \Leftrightarrow B = {\left( { - \sin \alpha } \right)^2} + {\cos ^2}\alpha + \cos \alpha - \cos \alpha \\ \Leftrightarrow B = {\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha \\ \Leftrightarrow B = 1\end{array}\)
Vậy B không phụ thuộc \(\alpha \).
Mục 2 của SGK Toán 11 tập 1 tập trung vào việc củng cố kiến thức về hàm số lượng giác, bao gồm các dạng bài tập về xác định tập xác định, tập giá trị, tính đơn điệu, cực trị và vẽ đồ thị hàm số lượng giác. Để giải tốt các bài tập này, học sinh cần nắm vững các khái niệm cơ bản về đường tròn lượng giác, các hàm số lượng giác cơ bản (sin, cos, tan, cot) và các phép biến đổi lượng giác.
Bài 1: Xác định tập xác định của hàm số y = sin(2x + π/3). Giải: Tập xác định của hàm số là R, vì sin(x) xác định với mọi x.
Bài 2: Tìm tập giá trị của hàm số y = 2cos(x) - 1. Giải: Tập giá trị của hàm số là [-3, 1], vì -1 ≤ cos(x) ≤ 1.
Bài 3: Xét tính đơn điệu của hàm số y = cos(x) trên khoảng (0, π). Giải: Hàm số y = cos(x) nghịch biến trên khoảng (0, π).
Bài 4: Tìm cực trị của hàm số y = sin(2x). Giải: Hàm số y = sin(2x) có cực đại là 1 và cực tiểu là -1.
Bài 5: Vẽ đồ thị hàm số y = sin(x) trên khoảng [-π, π]. Giải: Đồ thị hàm số y = sin(x) là một đường cong sin có chu kỳ 2π.
Bài 6: Tìm nghiệm của phương trình sin(x) = 1/2. Giải: Nghiệm của phương trình là x = π/6 + k2π và x = 5π/6 + k2π, với k là số nguyên.
Bài 7: Giải phương trình cos(x) = -√3/2. Giải: Nghiệm của phương trình là x = 5π/6 + k2π và x = 7π/6 + k2π, với k là số nguyên.
Bài 8: Chứng minh đẳng thức sin²(x) + cos²(x) = 1. Giải: Sử dụng định nghĩa của sin và cos trên đường tròn lượng giác để chứng minh đẳng thức.
Bài 9: Rút gọn biểu thức A = sin(x)cos(x) + cos²(x). Giải: A = sin(x)cos(x) + cos²(x) = cos(x)(sin(x) + cos(x)).
Bài 10: Tính giá trị của biểu thức B = sin(π/4) + cos(π/4). Giải: B = sin(π/4) + cos(π/4) = √2/2 + √2/2 = √2.
Để học tốt Toán 11, bạn cần:
Chúc bạn học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán 11!
