Chào mừng bạn đến với bài học lý thuyết Hàm số mũ và hàm số logarit thuộc chương trình SGK Toán 11 tại giaibaitoan.com. Đây là một trong những chủ đề quan trọng, đặt nền móng cho các kiến thức toán học nâng cao hơn. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn một cái nhìn tổng quan và chi tiết về lý thuyết, giúp bạn hiểu rõ bản chất và ứng dụng của hai hàm số này.
Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá định nghĩa, tính chất, đồ thị và các phương pháp giải bài tập liên quan đến hàm số mũ và hàm số logarit. Mục tiêu là giúp bạn tự tin đối mặt với mọi dạng bài tập trong sách giáo khoa và các kỳ thi.
A. Lý thuyết 1. Hàm số mũ a) Định nghĩa
A. Lý thuyết
1. Hàm số mũ
a) Định nghĩa
| Cho a là một số thực dương và khác 1. Hàm số \(y = {a^x}\) được gọi là hàm số mũ cơ số a. |
Lưu ý:
- Hàm số \(y = {a^x}\) \((a > 0,a \ne 1)\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\) và tập giá trị là \((0; + \infty )\).
- Hàm số \(y = {a^x}\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).
- Với a = 1 thì \({1^x} = 1\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
b) Đồ thị của hàm số \(y = {a^x}\) \((a > 0,a \ne 1)\)
Hàm số mũ \(y = {a^x}\) \((a > 0,a \ne 1)\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\) và tập giá trị là \((0; + \infty )\). Hàm số \(y = {a^x}\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi a > 1 và nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) khi 0 < a < 1. Với a > 1 thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {a^x} = 0\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {a^x} = + \infty \). Với 0 < a < 1 thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {a^x} = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {a^x} = 0\). Đồ thị (C) của hàm số \(y = {a^x}\) luôn nằm phía trên trục hoành, luôn đi qua các điểm (0;1) và (1;a). |
2. Hàm số logarit
a) Định nghĩa
| Cho số thực dương a khác 1. Hàm số \(y = {\log _a}x\) được gọi là hàm số logarit cơ số a. |
Lưu ý:
- Hàm số \(y = {\log _a}x\) có tập xác định là \(D = (0; + \infty )\) và tập giá trị là \(\mathbb{R}\).
- Hàm số \(y = {\log _a}x\) liên tục trên khoảng \(D = (0; + \infty )\).
- Hàm số \(y = {\log _a}(u(x))\) \((a > 0,a \ne 1)\) xác định khi và chỉ khi u(x) xác định và u(x) > 0.
b) Đồ thị của hàm số logarit \(y = {\log _a}(u(x))\) \((a > 0,a \ne 1)\)
Hàm số logarit \(y = {\log _a}x\) \((a > 0,a \ne 1)\) có tập xác định là \((0; + \infty )\) và tập giá trị là \(\mathbb{R}\). Hàm số \(y = {\log _a}x\) đồng biến trên \((0; + \infty )\) khi a > 1 và nghịch biến trên \((0; + \infty )\) khi 0 < a < 1. Với a > 1 thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} ({\log _a}x) = - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } ({\log _a}x) = + \infty \). Với 0 < a < 1 thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} ({\log _a}x) = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } ({\log _a}x) = - \infty \). Đồ thị (C) của hàm số \(y = {\log _a}x\) luôn nằm phía bên phải trục tung, luôn đi qua các điểm (1;0) và (a;1). |
B. Bài tập
Bài 1: Hàm số nào sau đây là hàm số mũ? Tìm cơ số của hàm số mũ đó.
a) \(y = {2^x}\).
b) \(y = {(\sqrt 2 - 1)^x}\).
c) \(y = {e^x}\).
d) \(y = {x^e}\).
Giải:
a) Hàm số \(y = {2^x}\) là hàm số mũ với cơ số bằng 2.
b) Hàm số \(y = {(\sqrt 2 - 1)^x}\) là hàm số mũ với cơ số bằng \(\sqrt 2 - 1\).
c) Hàm số \(y = {e^x}\) là hàm số mũ với cơ số bằng e.
d) Hàm số \(y = {x^e}\) không phải là hàm số mũ vì cơ số không phải hằng số.
Bài 2: Tìm hàm số mũ \(f(x) = {a^x}\) mà dồ thị của nó được cho bên dưới:
a)
b)
Giải:
a) Vì \(f(x) = {a^2} = 16\) nên a = 4. Do đó \(f(x) = {4^x}\).
b) Vì \(f(x) = {a^2} = \frac{1}{4}\) nên \(a = \frac{1}{2}\). Do đó \(f(x) = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}\).
Bài 3: Xác định cơ số của các hàm số logarit sau:
a) \(y = {\log _3}x\).
b) \(y = \ln x\).
c) \(y = \log x\).
Giải:
a) Hàm số \(y = {\log _3}x\) có cơ số bằng 3.
b) Hàm số \(y = \ln x\) có cơ số bằng e.
c) Hàm số \(y = \log x\) có cơ số bằng 10.
Bài 4: Tìm hàm số logarit \(f(x) = {\log _a}x\) mà đồ thị của nó được cho bên dưới:
a)
b)
Giải:
a) Vì f(5) = 1 nên \({\log _a}5 = 1 \Leftrightarrow a = 5\). Do đó \(f(x) = {\log _5}x\).
b) Vì f(3) = -1 nên \({\log _a}3 = - 1 \Leftrightarrow a = \frac{1}{3}\). Do đó \(f(x) = {\log _{\frac{1}{3}}}x\).
Hàm số mũ và hàm số logarit là hai khái niệm quan trọng trong chương trình Toán 11, đóng vai trò nền tảng cho nhiều lĩnh vực toán học khác. Việc nắm vững lý thuyết và kỹ năng giải bài tập liên quan đến hai hàm số này là vô cùng cần thiết.
1. Định nghĩa: Hàm số mũ là hàm số có dạng y = ax, trong đó a là một số thực dương khác 1 (a > 0 và a ≠ 1). x là biến số độc lập.
2. Tập xác định: Tập xác định của hàm số mũ y = ax là tập số thực ℝ.
3. Tính chất:
4. Ví dụ:
1. Định nghĩa: Hàm số logarit là hàm số có dạng y = logax, trong đó a là một số thực dương khác 1 (a > 0 và a ≠ 1). x là biến số độc lập.
2. Tập xác định: Tập xác định của hàm số logarit y = logax là tập hợp các số thực dương (x > 0).
3. Tính chất:
4. Ví dụ:
Hàm số mũ và hàm số logarit là hai hàm số nghịch đảo của nhau. Điều này có nghĩa là:
alogax = x (với x > 0)
logaax = x (với mọi x ∈ ℝ)
Bài 1: Giải phương trình 2x = 8
Giải: Ta có 2x = 23, suy ra x = 3.
Bài 2: Tính log39
Giải: Ta có log39 = log332 = 2.
Hàm số mũ và hàm số logarit có nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về lý thuyết Hàm số mũ và hàm số logarit - SGK Toán 11. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong các kỳ thi.
