Bài 5. Phương trình và bất phương trình lôgarit

Bài 5 trong chương trình Toán 11 tập 2, thuộc Chương VI: Hàm số mũ và hàm số lôgarit, tập trung vào việc giải quyết các phương trình và bất phương trình chứa lôgarit. Đây là một phần kiến thức quan trọng, đòi hỏi học sinh phải nắm vững các tính chất của lôgarit, các quy tắc biến đổi và các phương pháp giải phù hợp.

I. Lý thuyết cơ bản

Trước khi đi vào giải bài tập, chúng ta cần ôn lại một số lý thuyết cơ bản về lôgarit:

Định nghĩa: Lôgarit của một số dương b (với b ≠ 1) theo cơ số a (với a > 0 và a ≠ 1) là số x sao cho a^x = b. Ký hiệu: log_ab = x.
Tính chất:
- log_a(b.c) = log_ab + log_ac
- log_a(b/c) = log_ab - log_ac
- log_abⁿ = n.log_ab
- log_a1 = 0
- log_aa = 1
Hàm số lôgarit: y = log_ax (với a > 0 và a ≠ 1)

II. Phương pháp giải phương trình lôgarit

Để giải phương trình lôgarit, chúng ta thường sử dụng các phương pháp sau:

Đưa phương trình về dạng cơ bản: Sử dụng các tính chất của lôgarit để biến đổi phương trình về dạng log_af(x) = log_ag(x), từ đó suy ra f(x) = g(x).
Sử dụng phép đổi cơ số: Đôi khi, việc đổi cơ số lôgarit có thể giúp đơn giản hóa phương trình.
Đặt ẩn phụ: Trong một số trường hợp, việc đặt ẩn phụ có thể giúp giải quyết phương trình một cách dễ dàng hơn.

III. Phương pháp giải bất phương trình lôgarit

Để giải bất phương trình lôgarit, chúng ta cần chú ý đến tính đơn điệu của hàm số lôgarit:

Nếu a > 1, hàm số y = log_ax đồng biến. Do đó:
- log_af(x) > log_ag(x) ⇔ f(x) > g(x)
- log_af(x) < log_ag(x) ⇔ f(x) < g(x)
Nếu 0 < a < 1, hàm số y = log_ax nghịch biến. Do đó:
- log_af(x) > log_ag(x) ⇔ f(x) < g(x)
- log_af(x) < log_ag(x) ⇔ f(x) > g(x)

IV. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải phương trình log₂(x + 1) = 3

Giải:

log₂(x + 1) = 3 ⇔ x + 1 = 2³ ⇔ x + 1 = 8 ⇔ x = 7

Ví dụ 2: Giải bất phương trình log_1/2(2x - 1) > 1

Giải:

log_1/2(2x - 1) > 1 ⇔ 2x - 1 < (1/2)¹ ⇔ 2x - 1 < 1/2 ⇔ 2x < 3/2 ⇔ x < 3/4

V. Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức, các em có thể tự giải các bài tập sau:

Giải phương trình: log₃(x² - 4x + 3) = 1
Giải bất phương trình: log₂(x + 2) < 2

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho các em những kiến thức cơ bản và phương pháp giải quyết các phương trình và bất phương trình lôgarit. Chúc các em học tập tốt!