Chào mừng bạn đến với chuyên mục Lý thuyết Phương trình và bất phương trình logarit của chương trình Toán 11. Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp tài liệu học tập đầy đủ, chi tiết và dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức nền tảng và giải quyết các bài tập một cách hiệu quả.
Chuyên mục này bao gồm các khái niệm cơ bản về logarit, các tính chất của logarit, phương trình logarit, bất phương trình logarit và các ứng dụng thực tế của chúng.
1. Phương trình logarit cơ bản Phương trình mũ cơ bản có
A. Lý thuyết
1. Phương trình logarit cơ bản
Phương trình mũ cơ bản có dạng \({\log _a}x = b\) \((a > 0,a \ne 1)\).
| Phương trình \({\log _a}x = b\) \((a > 0,a \ne 1)\) luôn có nghiệm duy nhất \(x = {a^b}\) với mọi b. |
Lưu ý: Nếu \(b = {\log _a}\alpha \) \((\alpha > 0)\) thì phương trình \({\log _a}x = b\) trở thành \({\log _a}x = {\log _a}\alpha \) với mọi b. Khi đó, phương trình có nghiệm duy nhất \(x = \alpha \). Một cách tổng quát, với a > 0 và \(a \ne 1\) , ta có:
\({\log _a}A = {\log _a}B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A > 0\\B > 0\\A = B\end{array} \right.\).
2. Bất phương trình logarit cơ bản
Bất phương trình mũ cơ bản có dạng \({\log _a}x > b\) hoặc \({\log _a}x \ge b\), \({\log _a}x < b\), \({\log _a}x \le b\) \((a > 0,a \ne 1)\).
Cho bất phương trình \({\log _a}x > b\) \((a > 0,a \ne 1)\): - Nếu a > 1: Ta có \({\log _a}x > b \Leftrightarrow x > {a^b}\). - Nếu 0 < a < 1: Ta có \({\log _a}x > b \Leftrightarrow 0 < x < {a^b}\). |
Lưu ý:
Giải tương tự cho các trường hợp còn lại: \({\log _a}x \ge b\), \({\log _a}x < b\), \({\log _a}x \le b\).
Nếu \(b = {\log _a}\alpha \) \((\alpha > 0)\) thì bất phương trình \({\log _a}x > b\) trở thành \({\log _a}x > {\log _a}\alpha \). Khi đó:
- Nếu a > 1 thì \({\log _a}x > {\log _a}\alpha \Leftrightarrow x > \alpha \).
- Nếu 0 < a < 1 thì \({\log _a}x > {\log _a}\alpha \Leftrightarrow x < \alpha \).
Một cách tổng quát, ta có:
- Khi a > 1 thì \({\log _a}A > {\log _a}B \Leftrightarrow A > B > 0\).
- Khi 0 < a < 1 thì \({\log _a}A > {\log _a}B \Leftrightarrow 0 < A < B\).
B. Bài tập
Bài 1: Giải các phương trình:
a) \({\log _2}(x + 1) = 3\).
b) \(\ln (x + 1) = ln({x^2} - 1)\).
Giải:
a) Điều kiện của phương trình là \(x + 1 > 0 \Leftrightarrow x > - 1\).
Ta có \({\log _2}(x + 1) = 3 \Leftrightarrow x + 1 = {2^3} \Leftrightarrow x + 1 = 8 \Leftrightarrow x = 7\).
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 7.
b) Điều kiện của phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x + 1 > 0\\{x^2} - 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > - 1\\\left[ \begin{array}{l}x < - 1\\x > 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 1\).
Ta có \(\ln (x + 1) = ln({x^2} - 1) \Rightarrow x + 1 = {x^2} - 1\).
\(x + 1 = {x^2} - 1 \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 2\end{array} \right.\).
Kết hợp với điều kiện của phương trình, ta loại x = -1 và nhận x = 2.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.
Bài 2: Giải các bất phương trình:
a) \({\log _2}x > 7\).
b) \({\log _{0,5}}(6x + 12) < {\log _{0,5}}({x^2} + 7x + 10)\).
Giải:
a) Vì cơ số 2 lớn hơn 1 nên \({\log _2}x > 7 \Leftrightarrow x > {2^7} \Leftrightarrow x > 128\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \((128; + \infty )\).
b) Điều kiện của bất phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}6x + 12 > 0\\{x^2} + 7x + 10 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > - 2\\\left[ \begin{array}{l}x < - 5\\x > - 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x > - 2\).
Vì cơ số 0,5 nhỏ hơn 1 nên \({\log _{0,5}}(6x + 12) < {\log _{0,5}}({x^2} + 7x + 10) \Leftrightarrow 6x + 12 > {x^2} + 7x + 10 \Leftrightarrow {x^2} + x - 2 < 0 \Leftrightarrow - 2 < x < 1\).
Kết hợp điều kiện, ta được tập nghiệm của bất phương trình là \(( - 2;1)\).
Chương trình Toán 11, đặc biệt là phần Phương trình và Bất phương trình Logarit, đóng vai trò quan trọng trong việc xây dựng nền tảng toán học vững chắc cho các em học sinh. Nắm vững lý thuyết và kỹ năng giải quyết các bài toán liên quan đến logarit là điều kiện cần thiết để thành công trong các kỳ thi quan trọng và ứng dụng vào các lĩnh vực khoa học khác.
Logarit là một khái niệm toán học quan trọng, liên quan mật thiết đến lũy thừa. Logarit của một số b (với b > 0 và b ≠ 1) theo cơ số a (với a > 0 và a ≠ 1) là số x sao cho ax = b. Ký hiệu: logab = x.
Việc nắm vững các tính chất của logarit giúp đơn giản hóa các biểu thức và giải quyết các phương trình, bất phương trình một cách nhanh chóng và chính xác.
Phương trình logarit là phương trình chứa ẩn số trong biểu thức logarit. Để giải phương trình logarit, ta thường sử dụng các tính chất của logarit để đưa phương trình về dạng đơn giản hơn, sau đó giải phương trình tương đương.
Ví dụ: Giải phương trình log2(x + 1) = 3
Ta có: x + 1 = 23 => x + 1 = 8 => x = 7
Bất phương trình logarit là bất phương trình chứa ẩn số trong biểu thức logarit. Khi giải bất phương trình logarit, cần chú ý đến điều kiện xác định của logarit và chiều của bất đẳng thức khi đổi cơ số hoặc sử dụng các tính chất của logarit.
Ví dụ: Giải bất phương trình log0.5(x - 2) > 1
Điều kiện: x - 2 > 0 => x > 2
Ta có: x - 2 < (0.5)1 => x - 2 < 0.5 => x < 2.5
Kết hợp điều kiện, ta có: 2 < x < 2.5
Phương trình và bất phương trình logarit có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khoa học và kỹ thuật, như:
Để củng cố kiến thức, các em học sinh nên luyện tập thường xuyên các bài tập liên quan đến phương trình và bất phương trình logarit. Giaibaitoan.com cung cấp một hệ thống bài tập đa dạng, từ cơ bản đến nâng cao, giúp các em rèn luyện kỹ năng giải toán và tự tin hơn trong các kỳ thi.
Hy vọng với những kiến thức và hướng dẫn trên, các em học sinh sẽ nắm vững lý thuyết và kỹ năng giải quyết các bài toán về Phương trình và Bất phương trình Logarit - SGK Toán 11. Chúc các em học tập tốt!
