Bài 3.19 trang 80 SGK Toán 11 tập 1 là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 11. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ, các phép toán vectơ và ứng dụng của vectơ trong hình học để giải quyết các bài toán cụ thể.
Giaibaitoan.com cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho bài 3.19 trang 80 SGK Toán 11 tập 1, giúp học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán.
Xét tính liên tục của các hàm số sau đây tại điểm \({x_0}\):
Đề bài
Xét tính liên tục của các hàm số sau đây tại điểm \({x_0}\):
a) \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 1}}\,\,\,\,\,\,khi\,\,x > 1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - \frac{x}{2}\,\,\,\,\,khi\,\,x \le 1\end{array} \right.\) tại \({x_0} = 1\)
b) \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{4 - {x^2}}}{{x - 2}}\,\,\,\,khi\,\,x < 2\\ - 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 2\\1 - 2x\,\,\,\,khi\,\,\,x > 2\end{array} \right.\) tại \({x_0} = 2\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Hàm số liên tục tại \(x = {x_0}\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\)
Khử dạng vô định \(\frac{0}{0}\) bằng cách phân tích đa thức thành nhân tử
Lời giải chi tiết
a) Tập xác định \(D = \mathbb{R}\)
+ Với \({x_0} = 1 \Rightarrow f\left( 1 \right) = - \frac{1}{2}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x - 2}}{{x + 1}} = \frac{{1 - 2}}{{1 + 1}} = - \frac{1}{2}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} - \frac{x}{2} = - \frac{1}{2}\)
Suy ra, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\) cùng bằng \( - \frac{1}{2}\). Do đó hàm số liên tục tại \({x_0} = 1\)
b) Tập xác định \(D = \mathbb{R}\)
+ Với \({x_0} = 2 \Rightarrow f\left( 2 \right) = - 3\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {1 - 2x} \right) = 1 - 2.2 = - 3\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{4 - {x^2}}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} - \left( {x + 2} \right) = - 4\)
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right)\) vì \( - 3 \ne 4\) do đó hàm số \(y = f\left( x \right)\) không liên tục tại \({x_0} = 2\)
Bài 3.19 trang 80 SGK Toán 11 tập 1 thuộc chương trình học về vectơ trong không gian. Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về:
Nội dung bài tập: Bài 3.19 thường yêu cầu học sinh chứng minh một đẳng thức vectơ, tìm tọa độ của một điểm hoặc vectơ, hoặc tính góc giữa hai vectơ. Để giải quyết bài tập này, học sinh cần:
Ví dụ minh họa:
Giả sử bài tập yêu cầu chứng minh rằng với hai vectơ a và b bất kỳ, ta có: |a + b|2 = |a|2 + |b|2 + 2a.b
Lời giải:
|a + b|2 = (a + b).(a + b) = a.a + 2a.b + b.b = |a|2 + 2a.b + |b|2
Vậy, |a + b|2 = |a|2 + |b|2 + 2a.b (đpcm)
Các dạng bài tập thường gặp:
Mẹo giải bài tập:
Luyện tập thêm: Để nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập về vectơ, học sinh nên luyện tập thêm các bài tập tương tự trong SGK và các tài liệu tham khảo khác. Giaibaitoan.com cung cấp nhiều bài tập luyện tập khác với lời giải chi tiết, giúp học sinh tự tin hơn trong quá trình học tập.
Kết luận: Bài 3.19 trang 80 SGK Toán 11 tập 1 là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về vectơ và ứng dụng của vectơ trong hình học. Bằng cách nắm vững các kiến thức cơ bản, áp dụng các phương pháp giải phù hợp và luyện tập thường xuyên, học sinh có thể giải quyết bài tập này một cách hiệu quả.
