Bài 8.1 trang 54 SGK Toán 11 tập 2 thuộc chương trình học Toán 11, tập trung vào việc giải và biện luận phương trình lượng giác. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về công thức lượng giác cơ bản và các phép biến đổi tương đương để tìm ra nghiệm của phương trình.
Giaibaitoan.com xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em học sinh nắm vững phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Cho tứ diện đều \(ABCD\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Tính \(\cos \left( {AB,DM} \right)\)
Đề bài
Cho tứ diện đều \(ABCD\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Tính \(\cos \left( {AB,DM} \right)\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Gọi \(N\) là trung điểm của \(AC\). Khi đó \(MN//AB\)
+ Góc giữa \(\left( {AB,MD} \right) = \left( {MN,MD} \right)\)
+ Tính các cạnh \(MN,ND,MD\)
+ Tính \(\cos M = \frac{{M{N^2} + M{D^2} - N{D^2}}}{{2MN.MD}}\)
Lời giải chi tiết
Giả sử tứ diện đều có cạnh bằng \(a\)
Gọi \(N\) là trung điểm của \(AC\). Suy ra \(MN\) là đường trung bình của tam giác
\( \Rightarrow MN//AB;MN = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}\)
Vì \(MN//AB\)\( \Rightarrow \left( {AB,MD} \right) = \left( {MN,MD} \right) = \widehat {NMD}\) (vì góc \(\widehat {NMD}\) là góc nhọn)
Vì tam giác \(BCD\) đều nên \(MD \bot BC\)\( \Rightarrow MD = \sqrt {B{D^2} - B{M^2}} \)\( = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Tương tự, \(ND = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Xét \(\Delta MND\) có \(\cos M = \frac{{M{N^2} + M{D^2} - N{D^2}}}{{2MN.MD}}\)\( = \frac{{{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}}{{2.\frac{a}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{6}\)
\( \Rightarrow \widehat M \approx {73^o}\). Vậy \(\left( {AB,MD} \right) \approx {73^o}\)
Bài 8.1 trang 54 SGK Toán 11 tập 2 là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 11, giúp học sinh củng cố kiến thức về phương trình lượng giác. Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững các kiến thức sau:
Bài 8.1 yêu cầu giải phương trình lượng giác sau: sin(2x) = cos(x). Để giải phương trình này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
sin(2x) = 2sin(x)cos(x). Phương trình trở thành: 2sin(x)cos(x) = cos(x).2sin(x)cos(x) - cos(x) = 0. cos(x)(2sin(x) - 1) = 0.cos(x) = 0 => x = π/2 + kπ, k ∈ Z.2sin(x) - 1 = 0 => sin(x) = 1/2 => x = π/6 + k2π hoặc x = 5π/6 + k2π, k ∈ Z.sin(2x) = cos(x) có các nghiệm: x = π/2 + kπ, x = π/6 + k2π, x = 5π/6 + k2π, k ∈ Z.Khi giải phương trình lượng giác, cần lưu ý các điểm sau:
Để củng cố kiến thức về phương trình lượng giác, các em có thể tham khảo các bài tập tương tự sau:
cos(2x) = sin(x)tan(x) = cot(x)sin^2(x) + cos^2(x) = 1Bài 8.1 trang 54 SGK Toán 11 tập 2 là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải phương trình lượng giác. Bằng cách nắm vững các kiến thức cơ bản và áp dụng đúng phương pháp, các em có thể tự tin giải quyết các bài tập tương tự.
| Công thức | Mô tả |
|---|---|
| sin(2x) | Công thức nhân đôi của sin |
| cos(2x) | Công thức nhân đôi của cos |
| sin^2(x) + cos^2(x) = 1 | Đẳng thức lượng giác cơ bản |
