Bài 2. Giới hạn của hàm số

Bài 2. Giới hạn của hàm số - SGK Toán 11: Tổng quan và các khái niệm cơ bản

Bài 2 trong chương trình Toán 11 tập 1, thuộc chương 3 về giới hạn, hàm số liên tục, là nền tảng quan trọng để hiểu sâu hơn về giải tích. Bài học này tập trung vào việc giới thiệu khái niệm giới hạn của hàm số tại một điểm và khi x tiến tới vô cùng. Việc nắm vững các khái niệm này là bước đệm cần thiết cho việc học các chủ đề nâng cao hơn như đạo hàm và tích phân.

1. Khái niệm giới hạn của hàm số tại một điểm

Giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến tới a, ký hiệu là lim_x→a f(x), là giá trị mà f(x) tiến gần tới khi x tiến gần a nhưng không bằng a. Để hiểu rõ hơn, ta xét ví dụ sau:

Ví dụ: lim_x→2 (x² - 4) / (x - 2) = 4

Trong ví dụ trên, khi x tiến gần 2, biểu thức (x² - 4) / (x - 2) tiến gần 4. Lưu ý rằng, giá trị của hàm số tại x = 2 không xác định, nhưng giới hạn của hàm số tại x = 2 vẫn tồn tại.

2. Khái niệm giới hạn của hàm số khi x tiến tới vô cùng

Giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến tới vô cùng, ký hiệu là lim_x→∞ f(x), là giá trị mà f(x) tiến gần tới khi x trở nên rất lớn. Tương tự, giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến tới âm vô cùng, ký hiệu là lim_x→-∞ f(x), là giá trị mà f(x) tiến gần tới khi x trở nên rất nhỏ.

Ví dụ: lim_x→∞ 1/x = 0

Trong ví dụ trên, khi x trở nên rất lớn, 1/x tiến gần 0.

3. Các tính chất của giới hạn

Để tính toán giới hạn một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các tính chất sau:

Giới hạn của một tổng bằng tổng các giới hạn.
Giới hạn của một tích bằng tích các giới hạn.
Giới hạn của một thương bằng thương các giới hạn (với mẫu khác 0).
Giới hạn của một hàm hợp bằng tích của các giới hạn.

4. Bài tập minh họa và phương pháp giải

Để củng cố kiến thức, chúng ta cùng xét một số bài tập minh họa:

Bài tập 1: Tính lim_x→3 (x² - 9) / (x - 3)

Giải: lim_x→3 (x² - 9) / (x - 3) = lim_x→3 (x - 3)(x + 3) / (x - 3) = lim_x→3 (x + 3) = 6

Bài tập 2: Tính lim_x→∞ (2x + 1) / (x - 2)

Giải: lim_x→∞ (2x + 1) / (x - 2) = lim_x→∞ (2 + 1/x) / (1 - 2/x) = 2/1 = 2

5. Ứng dụng của giới hạn trong thực tế

Khái niệm giới hạn có nhiều ứng dụng trong thực tế, đặc biệt trong các lĩnh vực khoa học kỹ thuật. Ví dụ, giới hạn được sử dụng để mô tả sự thay đổi của một đại lượng khi nó tiến gần đến một giá trị nhất định, hoặc để tính toán tốc độ thay đổi của một hàm số tại một điểm.

6. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về giới hạn của hàm số, các em nên luyện tập thường xuyên các bài tập khác nhau. Các em có thể tìm thấy nhiều bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập và trên các trang web học toán online như giaibaitoan.com.

Hy vọng bài viết này đã giúp các em hiểu rõ hơn về Bài 2. Giới hạn của hàm số - SGK Toán 11. Chúc các em học tập tốt!