Bài 4.37 trang 125 SGK Toán 11 tập 1 là một bài tập quan trọng trong chương trình học. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian để giải quyết các bài toán liên quan đến quan hệ song song, vuông góc.
Giaibaitoan.com xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài 4.37 trang 125 SGK Toán 11 tập 1, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi \(O = AC \cap BD\) và \(O' = A'C' \cap B'D'\). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
Đề bài
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi \(O = AC \cap BD\) và \(O' = A'C' \cap B'D'\). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Ảnh của tam giác C'MN qua phép chiếu song song trên mặt phẳng (ABCD) theo phương AO' là
A. Đoạn thẳng MN.
B. Tam giác OBC.
C. Tam giác CMN.
D. Đoạn thẳng BD.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
A' là hình chiếu song song của điểm A trên (P) theo phương d thì AA' // d và AA' cắt (P) tại A'.
Lời giải chi tiết
M, N thuộc (ABCD) nên M, N là hình chiếu song song của chính nó trên (ABCD) theo phương AO'
Ta có: AA' // CC' (cùng // BB') và AA' = CC' (cùng = CC') nên ACC'A' là hình bình hành. Suy ra AC // A'C' hay AO // O'C' (1)
O, O' lần lượt là giao điểm các đường chéo của hình bình ABCD, A'B'C'D' nên O là trung điểm AC, A'C'. Suy ra AO = O'C' (2)
Từ (1), (2) suy ra AOC'O' là hình bình hành. Suy ra AO' // OC'
Vậy O là hình chiếu song song của C' trên (ABCD) theo phương AO'
Suy ra hình chiếu song song của tam giác C'MN trên (ABCD) theo phương AO' là đoạn thẳng MN.
Chọn đáo án A.
Bài 4.37 trang 125 SGK Toán 11 tập 1 thuộc chương trình Hình học không gian, cụ thể là phần về đường thẳng và mặt phẳng. Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản như:
Nội dung bài tập:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Gọi M là trung điểm của cạnh CD.
a) Chứng minh rằng AM vuông góc với mặt phẳng (SCD).
b) Tính góc giữa đường thẳng SM và mặt phẳng (ABCD).
a) Chứng minh AM vuông góc với mặt phẳng (SCD):
Ta có: AM ⊥ CD (vì ABCD là hình vuông và M là trung điểm CD).
SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ CD.
Do đó, CD ⊥ (SAM).
Mà CD ⊂ (SCD) nên (SCD) ⊥ (SAM).
Vì AM ⊂ (SAM) nên AM ⊥ (SCD) (điều phải chứng minh).
b) Tính góc giữa đường thẳng SM và mặt phẳng (ABCD):
Gọi H là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABCD). Vì SA ⊥ (ABCD) nên H trùng với A.
Xét tam giác SAM vuông tại A, ta có: SM = √(SA² + AM²).
AM = √(AD² + DM²) = √(a² + (a/2)²) = √(a² + a²/4) = √(5a²/4) = (a√5)/2.
SM = √(a² + (a√5/2)²) = √(a² + 5a²/4) = √(9a²/4) = (3a)/2.
Gọi φ là góc giữa đường thẳng SM và mặt phẳng (ABCD). Ta có: φ = góc giữa SM và hình chiếu của SM lên mặt phẳng (ABCD), tức là góc giữa SM và AM.
sin φ = SA/SM = a / (3a/2) = 2/3.
Vậy φ = arcsin(2/3).
Khi giải các bài tập về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, học sinh cần chú ý:
Bài 4.37 trang 125 SGK Toán 11 tập 1 là một bài tập điển hình để rèn luyện các kỹ năng trên. Hy vọng với lời giải chi tiết này, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về bài tập và có thể tự giải các bài tập tương tự.
Ngoài ra, các em có thể tham khảo thêm các bài giải khác tại giaibaitoan.com để nâng cao kiến thức và kỹ năng giải toán.
Chúc các em học tốt!
