Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Cấp số cộng, một trong những chủ đề quan trọng của chương trình Toán 11 theo sách SGK Toán 11. Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp kiến thức đầy đủ, dễ hiểu và các bài tập thực hành đa dạng để giúp bạn nắm vững kiến thức này.
Bài học này sẽ giúp bạn hiểu rõ định nghĩa, các tính chất, công thức và ứng dụng của cấp số cộng trong giải toán.
1. Cấp số cộng
1. Cấp số cộng
Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d, nghĩa là:
\({u_n} = {u_{n - 1}} + d,n \ge 2\)
Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.
* Nhận xét:
- Nếu công sai d = 0 thì mọi số hạng của cấp số cộng đều bằng nhau. Khi đó, cấp số cộng là một dãy số không đổi.
- Nếu \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ 2, mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số cộng hữu hạn) đều là trung bình cộng của 2 sô hạng đứng kề nó trong dãy, tức là:
\({u_k} = \frac{{{u_{k - 1}} + {u_{k + 1}}}}{2}\left( {k \ge 2} \right)\)
II. Số hạng tổng quát
Nếu cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu là \({u_1}\) và công sai d thì số hạng tổng quát \({u_n}\)của nó được xác định theo công thức\({u_n} = {u_1} + (n - 1)d,n \ge 2.\)
III. Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\)với công sai d. Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_n}\). Khi đó
\({S_n} = \frac{{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)}}{2} = \frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]\)
Cấp số cộng là một dãy số đặc biệt, trong đó sự khác biệt giữa hai số hạng liên tiếp là một hằng số. Hằng số này được gọi là công sai của cấp số cộng.
Một dãy số (un) được gọi là cấp số cộng nếu có một số công sai d sao cho:
Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.
Một số tính chất quan trọng của cấp số cộng:
Số hạng tổng quát của cấp số cộng được xác định bởi công thức:
un = u1 + (n - 1)d
Trong đó:
Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng được tính theo công thức:
Sn = (n/2)(u1 + un) = (n/2)[2u1 + (n - 1)d]
Trong đó:
Xét cấp số cộng có số hạng đầu u1 = 2 và công sai d = 3. Hãy tìm số hạng thứ 5 và tổng của 5 số hạng đầu tiên.
Số hạng thứ 5: u5 = u1 + (5 - 1)d = 2 + 4 * 3 = 14
Tổng của 5 số hạng đầu tiên: S5 = (5/2)(u1 + u5) = (5/2)(2 + 14) = 40
Cấp số cộng có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ:
Để củng cố kiến thức về cấp số cộng, bạn có thể thực hành các bài tập sau:
Lý thuyết Cấp số cộng là một kiến thức cơ bản và quan trọng trong chương trình Toán 11. Việc nắm vững các định nghĩa, tính chất và công thức của cấp số cộng sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán một cách hiệu quả và chính xác. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán của mình.
Hy vọng bài học này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích về Lý thuyết Cấp số cộng. Chúc bạn học tập tốt!
