Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Cấp số nhân, một trong những chủ đề quan trọng của chương trình Toán 11. Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp kiến thức đầy đủ, dễ hiểu và các bài tập thực hành đa dạng để giúp bạn nắm vững kiến thức này.
Bài học này sẽ đi sâu vào định nghĩa, các tính chất, công thức và ứng dụng của cấp số nhân, giúp bạn tự tin giải quyết các bài toán liên quan.
1. Cấp số nhân
1. Cấp số nhân
Cấp số nhân là một dãy số, trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng ngay trước nó với một số không đổi q, nghĩa là:
\({u_n} = {u_{n - 1}}.q,n \in {\mathbb{N}^*}\)
Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.
* Chú ý:
- Nếu q = 1 thì cấp số nhân là dãy số không đổi: \({u_1},{u_1},...,{u_1},...\)
- Dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân thì \({u_k}^2 = {u_{k - 1}}.{u_{k + 1}}\left( {k \ge 2} \right)\).
2. Số hạng tổng quát của cấp số nhân
Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1}\) và công bội q thì số hạng tổng quát \({u_n}\)của nó được xác định bởi công thức
\({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}},n \ge 2\)
3. Tổng của n số hạng đầu của một cấp số nhân
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\)với công bội \(q \ne 1\). Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_n}\). Khi đó
\({S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}\)
Cấp số nhân là một dãy số đặc biệt, trong đó mỗi số hạng sau được tạo thành bằng cách nhân số hạng trước đó với một số không đổi gọi là công bội. Hiểu rõ về cấp số nhân là nền tảng quan trọng để giải quyết nhiều bài toán trong chương trình Toán học lớp 11 và các ứng dụng thực tế.
Một dãy số (un) được gọi là cấp số nhân nếu có một số q ≠ 0 sao cho:
Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.
Cấp số nhân có những tính chất quan trọng sau:
Các bài tập về cấp số nhân thường xoay quanh các nội dung sau:
Ví dụ 1: Cho cấp số nhân có u1 = 2 và q = 3. Tính u5 và S5.
Giải:
Ví dụ 2: Một hình vuông có cạnh bằng 1. Người ta nối trung điểm các cạnh của hình vuông để tạo thành một hình vuông mới. Tiếp tục quá trình này vô hạn. Tính tổng diện tích của tất cả các hình vuông được tạo thành.
Giải:
Diện tích hình vuông ban đầu là 1. Diện tích hình vuông mới tạo thành bằng 1/2 diện tích hình vuông trước đó. Do đó, diện tích các hình vuông tạo thành là một cấp số nhân với u1 = 1 và q = 1/2. Tổng diện tích của tất cả các hình vuông là:
S = u1 / (1 - q) = 1 / (1 - 1/2) = 2
Để nắm vững kiến thức về cấp số nhân, bạn nên luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau. giaibaitoan.com cung cấp một hệ thống bài tập phong phú, đa dạng với nhiều mức độ khó khác nhau để bạn có thể rèn luyện và nâng cao kỹ năng giải toán.
Lý thuyết Cấp số nhân là một phần quan trọng của chương trình Toán 11. Việc nắm vững kiến thức này sẽ giúp bạn tự tin giải quyết các bài toán liên quan và ứng dụng vào thực tế. Hãy dành thời gian ôn tập và luyện tập thường xuyên để đạt kết quả tốt nhất.
Chúc bạn học tập tốt!
