Bài 6.13 trang 19 SGK Toán 11 tập 2 thuộc chương trình Đại số và Giải tích lớp 11, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về phép biến hình affine để giải quyết các bài toán hình học. Bài tập này đòi hỏi học sinh phải nắm vững định nghĩa, tính chất của phép biến hình affine và khả năng áp dụng vào thực tế.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn hiểu rõ bản chất của bài toán và tự tin giải các bài tập tương tự.
Lúc đầu trong ao có một số con ếch. Người ta ghi nhận số lượng ếch trong 5 năm đầu như Hình 6.19. Giả sử số lượng ếch tăng theo hàm số \(n\left( t \right) = C.{a^t}\).
Đề bài
Lúc đầu trong ao có một số con ếch. Người ta ghi nhận số lượng ếch trong 5 năm đầu như Hình 6.19. Giả sử số lượng ếch tăng theo hàm số \(n\left( t \right) = C.{a^t}\).
a) Tính số lượng ếch lúc ban đầu.
b) Tìm hàm số biểu diễn số lượng ếch sau t năm kể từ khi chúng xuất hiện trong ao.
c) Dự đoán số lượng ếch sau 15 năm.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Số lượng ếch ban đầu là n khi t = 0.
b) Dựa vào các điểm thuộc đồ thị để tìm C, a.
Số lượng ếch mỗi năm bằng số lượng ếch ban đầu cộng với số lượng ếch tăng theo hàm số \(n\left( t \right) = C.{a^t}\).
c) Thay t = 15 vào hàm số tìm được ở phần b.
Lời giải chi tiết
a) Số lượng ếch ban đầu là 100 con.
b) Đồ thị hàm số đi qua 2 điểm (0; 100) và (2; 196). Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}C.{a^0} = 100\\C.{a^2} = 196\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}C = 100\\{a^2} = 1,96\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}C = 100\\a = 1,4\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow n\left( t \right) = 100.1,{4^t}\)
Vậy hàm số biểu diễn số lượng ếch sau t năm kể từ khi chúng xuất hiện trong ao là:
\(H\left( t \right) = 100 + 100.1,{4^t}\)
c) \(H\left( {15} \right) = 100 + 100.1,{4^{15}} \approx 15656\) (con).
Bài 6.13 trang 19 SGK Toán 11 tập 2 yêu cầu chúng ta xét phép biến hình affine f xác định bởi:
Và tìm ảnh của đường tròn (C) có tâm I(2; 3) và bán kính r = 2 qua phép biến hình f.
Để tìm ảnh của đường tròn (C) qua phép biến hình f, ta cần tìm ảnh của tâm I và bán kính r.
Gọi I'(x'; y') là ảnh của I(2; 3) qua phép biến hình f. Theo định nghĩa của phép biến hình affine:
Vậy I'(3; 2).
Trong phép biến hình affine, ảnh của một đường tròn là một đường tròn nếu phép biến hình là một phép vị tự hoặc một phép đồng dạng. Tuy nhiên, trong trường hợp này, phép biến hình f không phải là một phép vị tự hay phép đồng dạng. Do đó, ảnh của đường tròn (C) qua phép biến hình f là một elip.
Để xác định phương trình của elip, ta cần tìm các bán trục của nó. Gọi a và b là độ dài các bán trục của elip. Ta có:
Trong đó, A là ma trận biểu diễn phép biến hình f. Tuy nhiên, việc tính toán det(A) và các bán trục a, b có thể phức tạp và không cần thiết trong phạm vi bài học này.
Thay vào đó, ta có thể nhận xét rằng phép biến hình f là một phép tịnh tiến theo vector (1; -1). Do đó, ảnh của đường tròn (C) qua phép biến hình f là một đường tròn (C') có tâm I'(3; 2) và bán kính r = 2.
Tuy nhiên, cần lưu ý rằng phép biến hình affine có thể làm thay đổi hình dạng của đường tròn thành một elip nếu ma trận biến hình không phải là ma trận trực giao.
Ảnh của đường tròn (C) có tâm I(2; 3) và bán kính r = 2 qua phép biến hình affine f xác định bởi f(x) = x + 1 và f(y) = y - 1 là một đường tròn (C') có tâm I'(3; 2) và bán kính r = 2.
Bài tập này giúp học sinh hiểu rõ hơn về phép biến hình affine và khả năng ứng dụng của nó trong việc giải quyết các bài toán hình học. Việc nắm vững kiến thức về phép biến hình affine là rất quan trọng để học tốt môn Toán 11 và chuẩn bị cho các kỳ thi quan trọng.
Để hiểu sâu hơn về các khái niệm và phương pháp giải bài tập liên quan đến phép biến hình affine, bạn có thể tham khảo thêm các tài liệu học tập và bài giảng trực tuyến. Ngoài ra, việc luyện tập thường xuyên với các bài tập khác nhau cũng sẽ giúp bạn củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán.
Giaibaitoan.com luôn đồng hành cùng bạn trên con đường chinh phục môn Toán. Hãy truy cập website của chúng tôi để khám phá thêm nhiều bài giải chi tiết và tài liệu học tập hữu ích.
Lưu ý: Bài giải trên chỉ mang tính chất tham khảo. Học sinh cần tự mình suy nghĩ và giải bài tập để hiểu rõ bản chất của vấn đề.
