Chương 3. Giới hạn. Hàm số liên tục

Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục - SGK Toán 11

Chương 3 trong sách "Cùng khám phá Toán 11 tập 1" đi sâu vào khái niệm giới hạn, một nền tảng cơ bản của giải tích. Hiểu rõ về giới hạn là chìa khóa để nắm bắt các khái niệm phức tạp hơn như đạo hàm và tích phân.

1. Giới hạn của hàm số tại một điểm

Giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến tới a, ký hiệu là lim_x→a f(x), là giá trị mà f(x) tiến gần tới khi x tiến gần a nhưng không bằng a. Để hiểu rõ hơn, ta xét các trường hợp giới hạn một bên (giới hạn trái và giới hạn phải).

• Giới hạn trái: lim_x→a^- f(x) (x tiến tới a từ bên trái)
• Giới hạn phải: lim_x→a⁺ f(x) (x tiến tới a từ bên phải)

Giới hạn của f(x) tại x = a tồn tại khi và chỉ khi giới hạn trái và giới hạn phải tại x = a cùng tồn tại và bằng nhau.

2. Giới hạn của hàm số tại vô cực

Ngoài giới hạn tại một điểm, chúng ta còn xét giới hạn của hàm số khi x tiến tới vô cực (+∞) hoặc trừ vô cực (-∞). Điều này giúp ta hiểu hành vi của hàm số khi x trở nên rất lớn hoặc rất nhỏ.

Ví dụ: lim_x→+∞ 1/x = 0

3. Các định lý về giới hạn

Có một số định lý quan trọng giúp ta tính giới hạn một cách dễ dàng hơn:

• Định lý 1: lim_x→a [f(x) + g(x)] = lim_x→a f(x) + lim_x→a g(x)
• Định lý 2: lim_x→a [f(x) * g(x)] = lim_x→a f(x) * lim_x→a g(x)
• Định lý 3: lim_x→a [f(x) / g(x)] = (lim_x→a f(x)) / (lim_x→a g(x)) (với lim_x→a g(x) ≠ 0)

4. Hàm số liên tục tại một điểm

Một hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm x = a nếu:

1. Hàm số f(x) xác định tại x = a.
2. Tồn tại giới hạn lim_x→a f(x).
3. lim_x→a f(x) = f(a).

Hàm số liên tục trên một khoảng là hàm số liên tục tại mọi điểm trong khoảng đó.

5. Các dạng giới hạn thường gặp

Có một số dạng giới hạn thường gặp mà bạn cần nắm vững:

• Dạng 0/0: Sử dụng quy tắc L'Hôpital hoặc phân tích thành nhân tử.
• Dạng ∞/∞: Sử dụng quy tắc L'Hôpital hoặc chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của x.
• Các giới hạn lượng giác đặc biệt: lim_x→0 sin(x)/x = 1, lim_x→0 (1 - cos(x))/x = 0

6. Bài tập minh họa

Bài 1: Tính lim_x→2 (x² - 4) / (x - 2)

Giải: lim_x→2 (x² - 4) / (x - 2) = lim_x→2 (x - 2)(x + 2) / (x - 2) = lim_x→2 (x + 2) = 4

7. Ứng dụng của giới hạn và hàm số liên tục

Giới hạn và hàm số liên tục có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của Toán học và các ngành khoa học khác. Chúng là cơ sở để xây dựng các khái niệm như đạo hàm, tích phân, và được sử dụng để mô tả các hiện tượng vật lý, kinh tế, và kỹ thuật.

Hy vọng rằng những kiến thức này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục trong sách "Cùng khám phá Toán 11 tập 1". Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để củng cố kiến thức và đạt kết quả tốt nhất!