Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian để giải quyết các bài toán liên quan đến quan hệ song song, vuông góc.
Giaibaitoan.com xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập này.
Cho một bảng 6 vuông 3 × 3. Điền ngẫu nhiên các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 vào bằng trên (mỗi 6 chỉ diễn một số).
Đề bài
Cho một bảng 6 vuông 3 × 3. Điền ngẫu nhiên các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 vào bằng trên (mỗi 6 chỉ diễn một số). Gọi A là biến cố "mỗi hàng, mỗi cột bất kì đều có ít nhất một số lẻ". Tính xác suất của biến cố A.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Tính xác suất biến cố đối và áp dụng công thức \(P\left( B \right) = 1 - P\left( A \right)\) để tính xác suất cần tìm.
Lời giải chi tiết
Ta có \(n\left( \Omega \right) = 9!\)
Xét \(\overline A \): Có ít nhất một hàng hoặc một cột chỉ toàn số chẵn.
Vì chỉ có 4 số chẵn là 2, 4, 6, 8 nên chỉ có thể có đúng một hàng hoặc đúng một cột chỉ toàn các số chẵn. Để điền như vậy cần chọn một trong số ba hàng hoặc ba cột rồi chọn 3 số chẵn xếp vào hàng hoặc cột đó, 6 số còn lại xếp tùy ý. Do đó \(n\left( {\overline A } \right) = 6.A_4^3.6!\)
Vậy \(P\left( {\overline A } \right) = \frac{2}{7} \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{5}{7}\)
Bài 9.15 trang 102 SGK Toán 11 tập 2 thuộc chương 3: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Bài toán này thường kiểm tra khả năng vận dụng các định lý về quan hệ song song, vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng của học sinh.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và SA = a. Gọi M là trung điểm của cạnh CD.
Ta có:
Xét tam giác BDM, ta có: BD ⊥ CD và BD ⊥ SA (do SA ⊥ (ABCD)). Do đó, BD ⊥ (SAM). Mà AM ⊂ (SAM) nên BD ⊥ AM.
Vì SA ⊥ (ABCD) nên góc giữa đường thẳng SM và mặt phẳng (ABCD) chính là góc SMA.
Ta có: tan(SMA) = SA/AM = a / (a√2 / 2) = √2. Suy ra SMA = arctan(√2) ≈ 54.74°.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của C lên AD. Ta có CH = CD = a.
Gọi K là hình chiếu vuông góc của H lên SD. Khi đó, CK ⊥ SD.
Ta có: d(C, (SAD)) = CK.
Xét tam giác SAD vuông tại A, ta có: SD = √(SA² + AD²) = √(a² + a²) = a√2.
Diện tích tam giác SAD là: SSAD = (1/2) * SA * AD = (1/2) * a * a = a²/2.
Thể tích hình chóp S.ACD là: VS.ACD = (1/3) * SACD * SA = (1/3) * (a²/2) * a = a³/6.
Mặt khác, VS.ACD = (1/3) * SSAD * d(C, (SAD)) = (1/3) * (a²/2) * CK.
Suy ra: a³/6 = (1/3) * (a²/2) * CK. Do đó, CK = a/√2 = a√2 / 2.
Để củng cố kiến thức, các em có thể tham khảo thêm các bài tập tương tự trong SGK Toán 11 tập 2 và các tài liệu ôn tập khác.
Bài 9.15 trang 102 SGK Toán 11 tập 2 là một bài tập điển hình về ứng dụng các kiến thức về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Hy vọng với lời giải chi tiết này, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về bài toán và có thể tự giải các bài tập tương tự.
