Chào mừng các em học sinh đến với chuyên mục giải bài tập Toán 11 tập 1 của giaibaitoan.com. Ở đây, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho tất cả các bài tập trong SGK, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong học tập.
Mục 2 SGK Toán 11 tập 1 thường chứa các bài tập về một chủ đề cụ thể. Chúng tôi sẽ giải thích từng bước, từ việc phân tích đề bài đến áp dụng công thức và đưa ra kết quả cuối cùng.
Cho đường thẳng d và điểm M không thuộc d. Vẽ đường thẳng \({d^'}\) qua M và song song với d.
Cho đường thẳng d và điểm M không thuộc d. Vẽ đường thẳng d' qua M và song song với d.
a) Đường thẳng d' có nằm trong mặt phẳng (M, d) không?
b) Có thể vẽ được bao nhiêu đường thẳng d' như vậy? Vì sao?
Phương pháp giải:
a) Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung.
b) Sử dụng tiên đề Euclid: “Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó.”
Lời giải chi tiết:
a) Đường thẳng d' nằm trong mặt phẳng (M, d) vì hai đường thẳng song song phải đồng phẳng.
b) Chỉ vẽ được duy nhất một đường thẳng d' vì theo tiên đề Euclid: “Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó.”
Cho hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) cắt nhau theo giao tuyến c. Một mặt phẳng \(\left( \gamma \right)\) cắt \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) lần lượt theo các giao tuyến a và b.
a) Khi a và b cắt nhau tại I thì I có thuộc c không?
b) Khi a và b song song với nhau thì a có thể cắt đường thẳng c không?
Phương pháp giải:
Điểm chung của 2 mặt phẳng thì phải nằm trên giao tuyến của chúng.
Lời giải chi tiết:
a)
\(\left\{ \begin{array}{l}a \subset \left( \alpha \right)\\b \subset \left( \beta \right)\\a \cap b = I\end{array} \right.\)
Nên I là điểm chung của \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\).
Mà c là giao tuyến của \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\).
Vậy I phải thuộc c.
b) Giả sử a và c cắt nhau tại điểm O. Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}a \cap c = O\\a \subset \left( \gamma \right)\\c \subset \left( \beta \right)\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \)O là điểm chung của \(\left( \gamma \right)\) và \(\left( \beta \right)\). Mà b là giao tuyến của \(\left( \gamma \right)\) và \(\left( \beta \right)\).
\( \Rightarrow \)\(O \in b\)
Mặt khác: \(O \in a\)
\( \Rightarrow \)a và b có điểm chung là O (Mâu thuẫn với a song song với b)
Vậy a không thể cắt c.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AB // CD). Gọi M là một điểm thuộc đoạn SA (M khác S và A). Xác định giao tuyến của các mặt phẳng (SAB) và (MCD).
Phương pháp giải:
Hai mặt phẳng (P) và (Q) có điểm chung là A và lần lượt chứa 2 đường thẳng song song là a và b thì giao tuyến của chúng sẽ là đường thẳng đi qua A và song song với a, b.
Lời giải chi tiết:
(SAB) và (MCD) có điểm chung là M và lần lượt chứa hai đường thẳng song song là AB và CD nên giao tuyến của chúng là đường thẳng d đi qua M và song song với AB, CD.
Cho hình chóp S.ABC. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và AC. (P) là mặt phẳng chứa IJ và cắt SB, SC lần lượt tại K, L. Chứng minh rằng IJLK là hình thang. Nếu K là trung điểm SB thì tứ giác IJLK là hình gì?
Phương pháp giải:
Áp dụng hệ quả định lý về giao tuyến của 3 mặt phẳng:
\(\left\{ \begin{array}{l}a \subset \left( P \right)\\b \subset \left( Q \right)\\a//b\\\left( P \right) \cap \left( Q \right) = c\end{array} \right. \Rightarrow a//b//c\)
Nhắc lại kiến thức cũ:
- Hình thang là tứ giác có 2 cạnh đối song song với nhau. Hình thang có 2 cạnh đáy bằng nhau là hình bình hành.
- Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm 2 cạnh của tam giác. Đường trung bình song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
Lời giải chi tiết:
Ta có: IJ song song với BC vì cùng thuộc (ABC) và không có điểm chung (Đường trung bình trong tam giác)
Theo đề bài: \(\left( P \right) \cap \left( {SBC} \right) = KL\)
Mà (P) và (SBC) lần lượt có IJ và BC song song với nhau nên KL cũng song song với IJ, BC.
Vậy IJLK là hình thang.
Nếu K là trung điểm của SB thì KL song song với BC và bằng \(\frac{1}{2}\)BC
Mặt khác: IJ cũng bằng \(\frac{1}{2}\)BC (Đường trung bình trong tam giác)
Nên KL = IJ
Hình thang IJLK có KL = IJ là hình bình hành.
Quan sát hình một cánh cửa. Khung cửa là một hình chữ nhật và \({d_1},{d_2}\) là hai đường thẳng chứa hai cạnh hình chữ nhật, mép cửa là hình ảnh đường thẳng \(\Delta \) (Hình 4.48). Khi cánh cửa xoay, hãy nhận xét về vị trí tương đối giữa \(\Delta \)với \({d_1}\)?
Phương pháp giải:
Quan sát hình vẽ.
Lời giải chi tiết:
Khi cánh cửa xoay thì \(\Delta \)và \({d_1}\) song song với nhau hoặc trùng nhau.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, AD, SD, SB. Chứng minh rằng MNPQ là hình bình hành.
Phương pháp giải:
- Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
- Tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.
- Đường trung bình là đoạn thẳng nối trung điểm của 2 cạnh tam giác. Đường trung bình song song và bằng một nửa cạnh thứ ba.
Lời giải chi tiết:
Xét (SAB) có M, Q lần lượt là trung điểm của AB, SB nên MQ song song và bằng một nửa SA.
Xét (SAD) có P, N lần lượt là trung điểm của SD, AD nên PN song song và bằng một nửa SA.
Suy ra MQ và PN song song và bằng nhau.
Vậy MNPQ là hình bình hành.
a) Hình 4.51 là một loại thang nhôm chữ A được kết hợp từ hai nhánh là hai thang đơn. Hãy chỉ ra hình ảnh một số cặp đường thẳng song song ở mỗi nhánh của thang. Các bậc thang ở hai nhánh khác nhau có song song với nhau không? Vì sao?
b) Hãy nêu thêm một số đồ vật xung quanh có hình ảnh là các đường thẳng song song.
Phương pháp giải:
Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng đồng phẳng và không có điểm chung.
Lời giải chi tiết:
a) Các bậc thang ở một nhánh đều song song với nhau.
Vì các bậc thang ở mỗi nhánh đều song song với bậc thang trên cùng của nhánh đó. Mà 2 bậc thang trên cùng song song với nhau nên các bậc thang ở hai nhánh khác nhau cũng song song với nhau.
b) Các hình ảnh có các đường thẳng song song là sàn nhà có lát gạch, bảng, bàn, ghế,…
Mục 2 của SGK Toán 11 tập 1 thường tập trung vào một chủ đề quan trọng trong chương trình học. Việc nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập trong mục này là nền tảng để học tốt các kiến thức tiếp theo. Bài viết này sẽ cung cấp lời giải chi tiết cho các bài tập từ trang 96 đến trang 99, giúp các em học sinh hiểu rõ hơn về các khái niệm và phương pháp giải quyết vấn đề.
Bài tập 1 thường là bài tập áp dụng trực tiếp các định nghĩa và tính chất đã học. Để giải bài tập này, các em cần:
Ví dụ, nếu bài tập yêu cầu tính độ dài của một đoạn thẳng, các em cần sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng và thay các giá trị đã cho vào công thức.
Bài tập 2 có thể là bài tập chứng minh hoặc bài tập tìm điều kiện. Để giải bài tập này, các em cần:
Ví dụ, nếu bài tập yêu cầu chứng minh hai đường thẳng song song, các em cần sử dụng các dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song.
Bài tập 3 thường là bài tập tổng hợp, yêu cầu các em vận dụng nhiều kiến thức và kỹ năng khác nhau. Để giải bài tập này, các em cần:
Ví dụ, bài tập có thể yêu cầu tìm tọa độ của một điểm thỏa mãn một điều kiện nào đó. Các em cần sử dụng các công thức về tọa độ điểm và phương trình đường thẳng để giải bài tập này.
Bài tập 4 có thể là bài tập nâng cao, đòi hỏi các em phải có khả năng tư duy và sáng tạo. Để giải bài tập này, các em cần:
Ví dụ, bài tập có thể yêu cầu chứng minh một bất đẳng thức hoặc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức.
Để giải bài tập Toán 11 tập 1 một cách hiệu quả, các em nên:
| Công thức | Mô tả |
|---|---|
| Độ dài đoạn thẳng | AB = √( (xB - xA)2 + (yB - yA)2 ) |
| Phương trình đường thẳng | y = ax + b |
Hy vọng rằng với lời giải chi tiết và những lời khuyên trên, các em học sinh sẽ tự tin hơn khi giải các bài tập mục 2 trang 96, 97, 98, 99 SGK Toán 11 tập 1. Chúc các em học tập tốt!
