Bài 6.23 trang 30 SGK Toán 11 tập 2 là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 11, tập trung vào việc rèn luyện kỹ năng giải bài toán liên quan đến đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số. Bài tập này đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức về các khái niệm đạo hàm, quy tắc tính đạo hàm và cách sử dụng đạo hàm để tìm cực trị, khoảng đơn điệu của hàm số.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho Bài 6.23 trang 30 SGK Toán 11 tập 2, giúp các em học sinh hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Giải các bất phương trình:
Đề bài
Giải các bất phương trình:
a) \({2^{2x - 1}} + {2^{2x - 2}} + {2^{2x - 3}} \ge 448\)
b) \({\left( {\frac{1}{3}} \right)^{2x - 5}} > {3^{{x^2} + 2x}}\)
c) \(\log \left( {{x^2} + x - 2} \right) \ge \log \left( {x - 1} \right)\)
d) \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - \frac{1}{2}} \right) > 1\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a, b) Khi a > 1: \({a^{A\left( x \right)}} > {a^{B\left( x \right)}} \Leftrightarrow A\left( x \right) > B\left( x \right)\)
Khi 0 < a < 1: \({a^{A\left( x \right)}} > {a^{B\left( x \right)}} \Leftrightarrow A\left( x \right) < B\left( x \right)\)
c, d) Đưa \({\log _a}A > \alpha \) về dạng \({\log _a}A > {\log _a}B\)
Nếu a > 1: \({\log _a}A > {\log _a}B \Leftrightarrow A > B > 0\)
Nếu 0 < a < 1: \({\log _a}A > {\log _a}B \Leftrightarrow 0 < A < B\)
Lời giải chi tiết
a)
\(\begin{array}{l}{2^{2x - 1}} + {2^{2x - 2}} + {2^{2x - 3}} \ge 448\\ \Leftrightarrow {2^{2x - 3}}\left( {{2^2} + 2 + 1} \right) \ge 448\\ \Leftrightarrow {2^{2x - 3}}.7 \ge 448\\ \Leftrightarrow {2^{2x - 3}} \ge 64\\ \Leftrightarrow {2^{2x - 3}} \ge {2^6}\\ \Leftrightarrow 2x - 3 \ge 6\\ \Leftrightarrow x \ge \frac{9}{2}\end{array}\)
Vậy bất phương trình có tập nghiệm \(\left[ {\frac{9}{2};\left. { + \infty } \right)} \right.\)
b)
\(\begin{array}{l}{\left( {\frac{1}{3}} \right)^{2x - 5}} > {3^{{x^2} + 2x}}\\ \Leftrightarrow {3^{5 - 2x}} > {3^{{x^2} + 2x}}\\ \Leftrightarrow 5 - 2x > {x^2} + 2x\\ \Leftrightarrow {x^2} + 4x - 5 < 0\\ \Leftrightarrow - 5 < x < 1\end{array}\)
Vậy bất phương trình có tập nghiệm \(\left( { - 5;1} \right)\)
c)
\(\begin{array}{l}\log \left( {{x^2} + x - 2} \right) \ge \log \left( {x - 1} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} + x - 2 \ge x - 1 \ge 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 1 \ge 0\\x \ge 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow x \ge 1\end{array}\)
Vậy bất phương trình có tập nghiệm \(\left[ {\left. {1; + \infty } \right)} \right.\)
d)
\(\begin{array}{l}{\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - \frac{1}{2}} \right) > 1\\ \Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - \frac{1}{2}} \right) > {\log _{\frac{1}{2}}}\frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow 0 < {x^2} - \frac{1}{2} < \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{2} < {x^2} < 1\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt {\frac{1}{2}} < x < 1\\ - \sqrt {\frac{1}{2}} > x > - 1\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy bất phương trình có tập nghiệm \(\left( { - 1; - \sqrt {\frac{1}{2}} } \right) \cup \left( {\sqrt {\frac{1}{2}} ;1} \right)\)
Bài 6.23 trang 30 SGK Toán 11 tập 2 yêu cầu học sinh xét hàm số f(x) = (x^2 - 4x + 3)/(x - 2) và thực hiện các yêu cầu sau:
1. Xác định tập xác định của hàm số:
Tập xác định của hàm số f(x) = (x^2 - 4x + 3)/(x - 2) là tập hợp tất cả các giá trị của x sao cho mẫu số khác 0. Do đó, x - 2 ≠ 0, suy ra x ≠ 2. Vậy tập xác định của hàm số là D = R \ {2}.
2. Tính đạo hàm f'(x):
Để tính đạo hàm f'(x), ta sử dụng quy tắc đạo hàm của một thương:
f'(x) = [(x^2 - 4x + 3)'(x - 2) - (x^2 - 4x + 3)(x - 2)'] / (x - 2)^2
Ta có: (x^2 - 4x + 3)' = 2x - 4 và (x - 2)' = 1. Do đó:
f'(x) = [(2x - 4)(x - 2) - (x^2 - 4x + 3)(1)] / (x - 2)^2
f'(x) = (2x^2 - 8x + 8 - x^2 + 4x - 3) / (x - 2)^2
f'(x) = (x^2 - 4x + 5) / (x - 2)^2
3. Tìm các điểm cực trị của hàm số:
Để tìm các điểm cực trị, ta giải phương trình f'(x) = 0:
(x^2 - 4x + 5) / (x - 2)^2 = 0
Vì (x - 2)^2 luôn dương với x ≠ 2, nên phương trình tương đương với:
x^2 - 4x + 5 = 0
Ta tính delta: Δ = (-4)^2 - 4 * 1 * 5 = 16 - 20 = -4
Vì Δ < 0, phương trình x^2 - 4x + 5 = 0 vô nghiệm. Do đó, hàm số f(x) không có điểm cực trị.
4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số:
Vì f'(x) = (x^2 - 4x + 5) / (x - 2)^2 = [(x - 2)^2 + 1] / (x - 2)^2 = 1 + 1/(x - 2)^2 > 0 với mọi x ≠ 2, hàm số f(x) đồng biến trên các khoảng (-∞, 2) và (2, +∞).
Hàm số không có cực trị. Hàm số có tiệm cận đứng x = 2.
Để tìm tiệm cận xiên, ta thực hiện phép chia đa thức:
(x^2 - 4x + 3) / (x - 2) = x - 2 - 1/(x - 2)
Khi x → ±∞, -1/(x - 2) → 0. Do đó, tiệm cận xiên của hàm số là y = x - 2.
Bảng giá trị:
| x | -1 | 0 | 1 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | 4 | -3/2 | 0 | 2 | 5/2 |
Kết luận:
Hàm số f(x) = (x^2 - 4x + 3)/(x - 2) đồng biến trên các khoảng (-∞, 2) và (2, +∞), không có cực trị, có tiệm cận đứng x = 2 và tiệm cận xiên y = x - 2.
Việc hiểu rõ các bước giải và kết quả của bài tập này sẽ giúp các em học sinh nắm vững kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số, từ đó đạt kết quả tốt trong các kỳ thi.
Hy vọng lời giải chi tiết này sẽ giúp ích cho các em trong quá trình học tập. Chúc các em học tốt!
