Bài 7.18 trang 50 SGK Toán 11 tập 2 là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 11, tập trung vào việc rèn luyện kỹ năng giải bài toán liên quan đến đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số. Bài tập này đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức về các khái niệm đạo hàm, quy tắc tính đạo hàm và cách sử dụng đạo hàm để tìm cực trị, khoảng đơn điệu của hàm số.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho Bài 7.18 trang 50 SGK Toán 11 tập 2, giúp các em học sinh hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Một vật dao động điều hòa có phương trình \(x = 4\cos \pi t\) (\(x\) tính bằng \(cm\), \(t\) tính bằng giây).
Đề bài
Một vật dao động điều hòa có phương trình \(x = 4\cos \pi t\) (\(x\) tính bằng \(cm\), \(t\) tính bằng giây).
a) Tính vận tốc của vật tại thời điểm \(t = 0,75\) giây
b) Tìm thời điểm đầu tiên vật có gia tốc lớn nhất.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Vận tốc chính là đạo hàm của \(x\)
Áp dụng công thức \(\left( {\cos u} \right)' = - u'.\sin u;\,\,\,\left( {\sin u} \right)' = u'.\cos u\)
b) Gia tốc là đạo hàm cấp hai của \(x\)
Áp dụng công thức \( - 1 \le \sin u \le 1;\,\, - 1 \le \cos u \le 1\)
Lời giải chi tiết
a) Vận tốc của vật là \(v = x' = \left( {4\cos \pi t} \right)' = - 4\sin \pi t.\left( {\pi t} \right)' = - 4\pi \sin \pi t\)
Vận tốc của vật tại thời điểm \(t = 0,75\) giây là \(v\left( {0,75} \right) = - 4\pi .\sin 0,75\pi = - 2\sqrt 2 \pi \)
b) Gia tốc của vật là \(a = x'' = \left( { - 4\pi \sin \pi t} \right)' = - 4\pi \cos \pi t.\left( {\pi t} \right)' = - 4{\pi ^2}\cos \pi t\)
Ta có \( - 1 \le \cos \pi t \le 1 \Leftrightarrow 4{\pi ^2} \ge - 4{\pi ^2}\cos \pi t \ge - 4{\pi ^2} \Leftrightarrow 4{\pi ^2} \ge a \ge - 4{\pi ^2}\)
Vậy gia tốc lớn nhất bằng \(a = 4{\pi ^2}\) khi \(\cos \pi t = - 1\)
Vậy tại thời điểm đầu tiên là \(t = 1\) thì vật có gia tốc lớn nhất
Bài 7.18 trang 50 SGK Toán 11 tập 2 yêu cầu học sinh giải một bài toán thực tế liên quan đến việc tối ưu hóa một đại lượng nào đó bằng cách sử dụng đạo hàm. Để giải bài toán này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:
Ví dụ minh họa:
Giả sử bài toán yêu cầu tìm kích thước của một hình hộp chữ nhật có thể tích cho trước sao cho diện tích bề mặt nhỏ nhất. Ta có thể giải bài toán này bằng cách:
Lưu ý quan trọng:
Khi giải bài toán tối ưu hóa bằng đạo hàm, cần chú ý đến các điều kiện ràng buộc của bài toán. Điều kiện ràng buộc có thể là một phương trình hoặc một bất phương trình. Việc xác định đúng điều kiện ràng buộc là rất quan trọng để tìm ra nghiệm đúng của bài toán.
Ngoài ra, cần kiểm tra điều kiện cực trị của hàm số để đảm bảo rằng giá trị tìm được là giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất thực sự. Có thể sử dụng đạo hàm cấp hai để kiểm tra điều kiện cực trị.
Các dạng bài tập tương tự:
Các bài tập tương tự Bài 7.18 trang 50 SGK Toán 11 tập 2 thường yêu cầu học sinh giải các bài toán tối ưu hóa liên quan đến:
Tài liệu tham khảo:
Kết luận:
Bài 7.18 trang 50 SGK Toán 11 tập 2 là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải bài toán tối ưu hóa bằng đạo hàm. Việc nắm vững kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm là rất cần thiết để giải quyết các bài toán thực tế trong nhiều lĩnh vực khác nhau.
| Khái niệm | Giải thích |
|---|---|
| Đạo hàm | Tốc độ thay đổi tức thời của hàm số. |
| Điểm dừng | Điểm mà đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại. |
| Cực trị | Điểm mà hàm số đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất trong một khoảng xác định. |
