Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Hai đường thẳng vuông góc trong chương trình SGK Toán 11 tại giaibaitoan.com. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức nền tảng và quan trọng nhất về mối quan hệ vuông góc giữa hai đường thẳng trong không gian.
Chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu định nghĩa, điều kiện, tính chất và các ứng dụng thực tế của hai đường thẳng vuông góc. Đồng thời, bài học cũng sẽ giúp bạn rèn luyện kỹ năng giải các bài tập liên quan đến chủ đề này.
A. Lý thuyết 1. Góc giữa hai đường thẳng
A. Lý thuyết
1. Góc giữa hai đường thẳng
| Góc giữa hai đường thẳng a, b là góc giữa hai đường thẳng a’, b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với a, b, kí hiệu (a,b). |
Nhận xét:
+ \({0^o} < (a,b) < {90^o}\).
+ Nếu a, b song song hoặc trùng nhau thì \((a,b) = {0^o}\).
2. Hai đường thẳng vuông góc
| Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng \({90^o}\). |
Lưu ý:
- Khi hai đường thẳng a, b vuông góc với nhau thì ta kí hiệu \(a \bot b\).
- Trong không gian, hai đường thẳng vuông góc với nhau thì hoặc cắt nhau, hoặc chéo nhau.
B. Bài tập
Bài 1: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có ABCD là hình vuông. Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:
a) A’B’ và BC.
b) A’D’ và BD.
c) B’C’ và AD.
Giải:
a) Ta có A’B’ // AB, suy ra (A’B’, BC) = (AB, BC).
Mà ABCD là hình vuông nên \(\widehat {ABC} = {90^o}\). Vậy \((A'B',BC) = {90^o}\).
b) Ta có A’D’ // AD, suy ra (A’D’, BD) = (AB, BD).
Mà ABCD là hình vuông nên \(\widehat {ADB} = {45^o}\). Vậy \((A'D',BD) = {45^o}\).
c) Ta có B’C’ // BC và BC // AD nên B’C’ // AD. Vậy \((B'C',AD) = {0^o}\).
Bài 2: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi E, F, M, K lần lượt là trung điểm của AB, CD, AC và AD. Chứng minh rằng \(EF \bot MK\).
Giải:
Ta có M và K lần lượt là trung điểm của AC và AD, do đó MK // CD.
Suy ra, góc giữa EF và MN bằng góc giữa EF và CD.
Do ABCD là tứ diện đều cạnh a nên các tam giác ABC và ABD là các tam giác đều cạnh a.
CE và DE là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của các tam giác đều cạnh a. Ta tính được \(CE = DE = \frac{{\sqrt 3 }}{2}a\). Vậy tam giác CED cân tại E.
Do F là trung điểm cạnh đáy CD của tam giác cân CED nên \(EF \bot CD\).
Suy ra \((EF,MK) = (EF,CD) = {90^o}\).
Vậy \(EF \bot MK\).
Trong chương trình Hình học không gian lớp 11, kiến thức về hai đường thẳng vuông góc đóng vai trò then chốt. Việc nắm vững lý thuyết và kỹ năng giải bài tập liên quan là vô cùng quan trọng để xây dựng nền tảng vững chắc cho các kiến thức nâng cao hơn.
Hai đường thẳng được gọi là vuông góc khi và chỉ khi góc giữa chúng bằng 90 độ. Trong không gian, để xác định góc giữa hai đường thẳng, ta thường sử dụng hình chiếu của một đường thẳng lên mặt phẳng chứa đường thẳng kia.
Có nhiều cách để xác định hai đường thẳng vuông góc:
Một số tính chất quan trọng của hai đường thẳng vuông góc:
Lý thuyết hai đường thẳng vuông góc có nhiều ứng dụng trong thực tế và trong các bài toán hình học không gian:
Dưới đây là một số bài tập vận dụng để giúp bạn hiểu rõ hơn về lý thuyết hai đường thẳng vuông góc:
Hy vọng bài học này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích về Lý thuyết Hai đường thẳng vuông góc - SGK Toán 11. Hãy luyện tập thường xuyên để nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập liên quan.
