Bài 1.24 trang 40 SGK Toán 11 tập 1 thuộc chương 1: Vectơ trong mặt phẳng. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về tích của một số với vectơ, các phép toán vectơ để giải quyết các bài toán cụ thể.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán hiệu quả.
Giải các phương trình sau: a) \(\cos 2x = 1;\)
Đề bài
Giải các phương trình sau:
a) \(\cos 2x = 1;\)
b) \(\sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = - 1;\)
c) \(\cos \left( {4x - {{75}^0}} \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2};\)
d) \(\sin \left( {3x - {{15}^0}} \right) = 0.\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) \(\cos a = 1 \Leftrightarrow a = k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
b) \(\sin a = - 1 \Leftrightarrow a = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
c)
\(\begin{array}{l}\cos x = m\\ \Leftrightarrow \cos x = \cos \alpha \\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)
d) \(\sin a = 0 \Leftrightarrow a = k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Lời giải chi tiết
a)
\(\begin{array}{l}\cos 2x = 1\\ \Leftrightarrow 2x = k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow x = k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)
Vậy phương trình có nghiệm là \(x = k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
b)
\(\begin{array}{l}\sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = - 1\\ \Leftrightarrow x - \frac{\pi }{4} = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)
Vậy phương trình có nghiệm là \(x = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
c)
\(\begin{array}{l}\cos \left( {4x - {{75}^0}} \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\ \Leftrightarrow \cos \left( {4x - {{75}^0}} \right) = \cos 150{}^0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x - {75^0} = {150^0} + k{360^0}\\4x - {75^0} = - {150^0} + k{360^0}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x = {225^0} + k{360^0}\\4x = - {75^0} + k{360^0}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {\left( {\frac{{225}}{4}} \right)^0} + k{90^0}\\x = {\left( { - \frac{{75}}{4}} \right)^0} + k{90^0}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)
Vậy phương trình có nghiệm là \(x = {\left( {\frac{{225}}{4}} \right)^0} + k{90^0},x = {\left( { - \frac{{75}}{4}} \right)^0} + k{90^0}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
d)
\(\begin{array}{l}\sin \left( {3x - {{15}^0}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 3x - {15^0} = k{180^0}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow 3x = {15^0} + k{180^0}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow x = {5^0} + k{60^0}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)
Vậy phương trình có nghiệm là \(x = {5^0} + k{60^0}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Bài 1.24 trang 40 SGK Toán 11 tập 1 là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 11, tập trung vào việc củng cố kiến thức về vectơ và các phép toán liên quan. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các khái niệm cơ bản như:
Dưới đây là lời giải chi tiết cho Bài 1.24 trang 40 SGK Toán 11 tập 1:
Cho bốn điểm A, B, C, D. Tìm điểm M sao cho:
1. Phân tích điều kiện MA + MB = 0:
Điều kiện MA + MB = 0 tương đương với MA = -MB. Điều này có nghĩa là vectơ MA và vectơ MB ngược hướng và có độ dài bằng nhau. Do đó, M là trung điểm của đoạn thẳng AB.
2. Phân tích điều kiện MC + MD = 0:
Tương tự, điều kiện MC + MD = 0 tương đương với MC = -MD. Điều này có nghĩa là vectơ MC và vectơ MD ngược hướng và có độ dài bằng nhau. Do đó, M là trung điểm của đoạn thẳng CD.
3. Kết luận:
Từ hai điều kiện trên, ta suy ra M là trung điểm của cả đoạn thẳng AB và đoạn thẳng CD. Điều này chỉ xảy ra khi ABCD là một hình bình hành và M là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.
Cách giải bằng tọa độ:
Giả sử A(xA, yA), B(xB, yB), C(xC, yC), D(xD, yD) và M(xM, yM).
Từ MA + MB = 0, ta có:
(xA - xM, yA - yM) + (xB - xM, yB - yM) = (0, 0)
Suy ra:
xA + xB - 2xM = 0 => xM = (xA + xB)/2
yA + yB - 2yM = 0 => yM = (yA + yB)/2
Tương tự, từ MC + MD = 0, ta có:
xC + xD - 2xM = 0 => xM = (xC + xD)/2
yC + yD - 2yM = 0 => yM = (yC + yD)/2
Để M thỏa mãn cả hai điều kiện, ta cần:
(xA + xB)/2 = (xC + xD)/2 và (yA + yB)/2 = (yC + yD)/2
Suy ra: xA + xB = xC + xD và yA + yB = yC + yD
Điều này chứng tỏ ABCD là một hình bình hành.
Lưu ý:
Bài tập này giúp học sinh hiểu rõ hơn về tính chất của vectơ và ứng dụng của chúng trong việc giải quyết các bài toán hình học. Việc nắm vững các quy tắc và định nghĩa là rất quan trọng để giải quyết bài tập một cách chính xác và hiệu quả.
Hy vọng lời giải chi tiết này sẽ giúp các em học sinh hiểu rõ hơn về Bài 1.24 trang 40 SGK Toán 11 tập 1. Chúc các em học tập tốt!
| Khái niệm | Giải thích |
|---|---|
| Vectơ đối | Hai vectơ được gọi là đối nhau nếu chúng ngược hướng và có cùng độ dài. |
| Trung điểm của đoạn thẳng | Điểm nằm chính giữa đoạn thẳng, cách đều hai mút của đoạn thẳng. |
