Bài 8.19 trang 72 SGK Toán 11 tập 2 là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 11, tập trung vào việc rèn luyện kỹ năng giải bài toán liên quan đến đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và phương pháp giải bài tập này một cách hiệu quả.
Cho hình chóp cụt tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’, cạnh đáy lớn bằng \(5\sqrt 2 a\)
Đề bài
Cho hình chóp cụt tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’, cạnh đáy lớn bằng \(5\sqrt 2 a\), cạnh đáy nhỏ bằng \(2\sqrt 2 a\) và chiều cao bằng 4a. Tỉnh độ dài cạnh bên của hình chóp cụt đều này.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Kẻ D’H, C’G vuông góc với CD. Tính DH. Áp dụng Py-ta-go để tính DD’.
Lời giải chi tiết
Kẻ D’H, C’G vuông góc với CD nên D’H song song với C’G
Mà C’D’ song song với HG
Suy ra D’C’GH là hình chữ nhật nên HG = \(2\sqrt 2 a\)
\( \Rightarrow DH + CG = 3\sqrt 2 a \Rightarrow DH = CG = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}a\)
Xét tam giác D’HD vuông tại H có:
\(DD' = \sqrt {D'{H^2} + D{H^2}} = \sqrt {{{\left( {4a} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{3\sqrt 2 }}{2}a} \right)}^2}} = \frac{{41}}{2}a\)
Bài 8.19 SGK Toán 11 tập 2 yêu cầu học sinh giải một bài toán thực tế liên quan đến việc tối ưu hóa một đại lượng nào đó bằng cách sử dụng đạo hàm. Để giải bài toán này, học sinh cần nắm vững các kiến thức về:
Nội dung bài toán: (Giả sử bài toán cụ thể là tìm kích thước của một hình hộp chữ nhật có thể tích cho trước sao cho diện tích toàn phần nhỏ nhất)
Lời giải:
Bước 1: Xây dựng hàm số
Gọi các kích thước của hình hộp chữ nhật là x, y, z. Ta có thể tích V = xyz (không đổi) và diện tích toàn phần S = 2(xy + yz + zx). Mục tiêu là tìm min S.
Từ V = xyz, ta có z = V/(xy). Thay vào công thức tính S, ta được:
S = 2(xy + y(V/(xy)) + x(V/(xy))) = 2(xy + V/x + V/y)
Bước 2: Tìm đạo hàm riêng
Để tìm cực trị của S, ta cần tìm đạo hàm riêng theo x và y và giải hệ phương trình:
∂S/∂x = 2(y - V/x2) = 0
∂S/∂y = 2(x - V/y2) = 0
Bước 3: Giải hệ phương trình
Từ hai phương trình trên, ta có:
y = V/x2 và x = V/y2
Thay y = V/x2 vào x = V/y2, ta được:
x = V / (V/x2)2 = V / (V2/x4) = x4/V
Suy ra x3 = V, do đó x = 3√V
Tương tự, y = 3√V
Thay x và y vào z = V/(xy), ta được z = V / (3√V * 3√V) = 3√V
Bước 4: Kết luận
Vậy, để diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật nhỏ nhất, ta cần có x = y = z = 3√V, tức là hình hộp chữ nhật phải là hình lập phương.
Lưu ý:
Các bài tập tương tự:
Tổng kết:
Bài 8.19 trang 72 SGK Toán 11 tập 2 là một bài tập điển hình về ứng dụng của đạo hàm trong việc giải bài toán tối ưu hóa. Việc nắm vững các kiến thức và phương pháp giải bài tập này sẽ giúp học sinh tự tin hơn trong việc giải các bài toán tương tự và áp dụng vào thực tế.
Giaibaitoan.com hy vọng với lời giải chi tiết này, các bạn học sinh sẽ hiểu rõ hơn về bài toán và có thể tự giải các bài tập tương tự một cách hiệu quả. Chúc các bạn học tốt!
