Bài 3. Vận dụng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn để giải quyết một số bài toán quy hoạch tuyến tính

Quy hoạch tuyến tính là một lĩnh vực quan trọng trong toán học ứng dụng, được sử dụng rộng rãi trong nhiều ngành nghề khác nhau như kinh tế, quản lý, kỹ thuật,... Bài toán quy hoạch tuyến tính thường liên quan đến việc tối ưu hóa một hàm mục tiêu tuyến tính với các ràng buộc là các bất phương trình tuyến tính.

1. Giới thiệu về bài toán quy hoạch tuyến tính

Một bài toán quy hoạch tuyến tính thường có dạng như sau:

Tối ưu hóa (max hoặc min) hàm mục tiêu: F(x, y) = ax + by

Với các ràng buộc:

• a₁x + b₁y ≤ c₁
• a₂x + b₂y ≤ c₂
• ...
• a_nx + b_ny ≤ c_n
• x ≥ 0, y ≥ 0

Trong đó:

• x, y là các biến quyết định
• a, b, a_i, b_i, c_i là các hệ số

2. Phương pháp giải bài toán quy hoạch tuyến tính bằng đồ thị

Phương pháp đồ thị là một phương pháp trực quan để giải bài toán quy hoạch tuyến tính với hai biến (x, y). Các bước thực hiện như sau:

1. Vẽ miền nghiệm: Vẽ các đường thẳng tương ứng với các bất phương trình ràng buộc. Miền nghiệm là phần mặt phẳng thỏa mãn tất cả các bất phương trình ràng buộc.
2. Xác định các đỉnh của miền nghiệm: Các đỉnh của miền nghiệm là giao điểm của các đường thẳng biên.
3. Tính giá trị hàm mục tiêu tại các đỉnh: Thay tọa độ của các đỉnh vào hàm mục tiêu để tính giá trị F(x, y) tại mỗi đỉnh.
4. Chọn nghiệm tối ưu: Nếu bài toán là tối đa hóa, chọn đỉnh có giá trị F(x, y) lớn nhất. Nếu bài toán là tối thiểu hóa, chọn đỉnh có giá trị F(x, y) nhỏ nhất.

3. Ví dụ minh họa

Bài toán: Một xí nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm A và B. Để sản xuất một đơn vị sản phẩm A cần 2 kg nguyên liệu và 1 giờ công. Để sản xuất một đơn vị sản phẩm B cần 1 kg nguyên liệu và 2 giờ công. Xí nghiệp có 400 kg nguyên liệu và 200 giờ công. Hỏi xí nghiệp nên sản xuất bao nhiêu sản phẩm A và B để thu được lợi nhuận tối đa, biết rằng lợi nhuận từ mỗi đơn vị sản phẩm A là 30 nghìn đồng và từ mỗi đơn vị sản phẩm B là 40 nghìn đồng?

Giải:

Đặt:

• x là số sản phẩm A cần sản xuất
• y là số sản phẩm B cần sản xuất

Hàm mục tiêu: F(x, y) = 30x + 40y (lợi nhuận)

Ràng buộc:

• 2x + y ≤ 400 (nguyên liệu)
• x + 2y ≤ 200 (công)
• x ≥ 0, y ≥ 0

Giải hệ bất phương trình và tìm nghiệm tối ưu (sử dụng phương pháp đồ thị hoặc các phương pháp khác).

4. Lưu ý khi giải bài toán quy hoạch tuyến tính

• Luôn kiểm tra tính khả thi của miền nghiệm.
• Nếu miền nghiệm vô hạn, cần xem xét các trường hợp đặc biệt.
• Sử dụng các công cụ hỗ trợ như phần mềm hoặc máy tính để giải các bài toán phức tạp.

Hy vọng bài học này đã giúp các em hiểu rõ hơn về cách vận dụng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn để giải quyết các bài toán quy hoạch tuyến tính. Chúc các em học tập tốt!