Bài 5. Phép dời hình

Bài 5. Phép dời hình - Chuyên đề học tập Toán 11 - Kết nối tri thức

Phép dời hình là một phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa các điểm. Điều này có nghĩa là nếu hai điểm A và B có khoảng cách là d, thì ảnh của chúng A' và B' qua phép dời hình cũng có khoảng cách là d.

1. Định nghĩa phép dời hình

Một phép biến hình f được gọi là phép dời hình nếu với mọi cặp điểm A và B, ta có:

• f(A) = A'
• f(B) = B'
• AB = A'B'

Phép dời hình bảo toàn khoảng cách giữa các điểm, do đó nó cũng bảo toàn độ dài đoạn thẳng và góc.

2. Các loại phép dời hình thường gặp

• Phép tịnh tiến: Được xác định bởi vectơ tịnh tiến.
• Phép đối xứng trục: Được xác định bởi một đường thẳng (trục đối xứng).
• Phép đối xứng tâm: Được xác định bởi một điểm (tâm đối xứng).
• Phép quay: Được xác định bởi một tâm quay và một góc quay.

3. Tính chất của phép dời hình

Phép dời hình bảo toàn:

• Khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
• Độ dài đoạn thẳng.
• Số đo góc.
• Hình dạng và kích thước của hình.

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Thực hiện phép tịnh tiến theo vectơ v, ta được tam giác A'B'C'. Chứng minh rằng tam giác ABC và tam giác A'B'C' bằng nhau.

Giải:

Vì phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách, nên AB = A'B', BC = B'C', CA = C'A'. Do đó, tam giác ABC và tam giác A'B'C' bằng nhau theo trường hợp ba cạnh bằng nhau (c-c-c).

Ví dụ 2: Cho đường tròn (O, R). Thực hiện phép đối xứng trục qua đường thẳng d. Chứng minh rằng ảnh của đường tròn (O, R) là một đường tròn có cùng bán kính R.

Giải:

Gọi O' là ảnh của O qua phép đối xứng trục d. Khi đó, O' nằm trên d và OO' vuông góc với d. Gọi M là một điểm bất kỳ trên đường tròn (O, R). Gọi M' là ảnh của M qua phép đối xứng trục d. Khi đó, OM = O'M' = R. Vậy, ảnh của đường tròn (O, R) là đường tròn (O', R).

5. Ứng dụng của phép dời hình

Phép dời hình có nhiều ứng dụng trong hình học, bao gồm:

• Chứng minh sự bằng nhau của các hình.
• Giải quyết các bài toán về đối xứng.
• Xây dựng các hình phức tạp từ các hình đơn giản.

6. Bài tập luyện tập

1. Cho điểm A(1, 2) và vectơ tịnh tiến v = (3, -1). Tìm tọa độ điểm A' là ảnh của A qua phép tịnh tiến theo v.
2. Cho đường thẳng d: x + y - 2 = 0. Tìm phương trình đường thẳng d' là ảnh của d qua phép đối xứng trục Ox.
3. Cho điểm M(2, 3) và tâm đối xứng O(0, 0). Tìm tọa độ điểm M' là ảnh của M qua phép đối xứng tâm O.

Hy vọng bài học này đã giúp các em hiểu rõ hơn về phép dời hình và các ứng dụng của nó. Chúc các em học tập tốt!