Bài 7. Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

1. Đường trung tuyến của tam giác

Trong một tam giác, đoạn thẳng nối một đỉnh của tam giác với trung điểm của cạnh đối diện được gọi là đường trung tuyến của tam giác đó. Một tam giác có ba đường trung tuyến. Ví dụ, trong tam giác ABC, AM là đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A, BN là đường trung tuyến kẻ từ đỉnh B, và CP là đường trung tuyến kẻ từ đỉnh C, với M là trung điểm của BC, N là trung điểm của AC, và P là trung điểm của AB.

2. Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Tính chất quan trọng nhất của ba đường trung tuyến của một tam giác là chúng đồng quy tại một điểm. Điểm đồng quy này được gọi là trọng tâm của tam giác. Trọng tâm của tam giác là giao điểm của ba đường trung tuyến.

Định lý: Ba đường trung tuyến của một tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm đó cách mỗi đỉnh một khoảng bằng hai phần ba độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đó.

Chứng minh: (Phần chứng minh định lý này sẽ được trình bày chi tiết với hình vẽ minh họa để dễ dàng theo dõi)

3. Ứng dụng của tính chất ba đường trung tuyến

Tính chất ba đường trung tuyến có nhiều ứng dụng trong việc giải các bài toán hình học liên quan đến tam giác. Một số ứng dụng phổ biến bao gồm:

Xác định trọng tâm của tam giác: Khi biết tọa độ các đỉnh của tam giác, ta có thể sử dụng công thức để tính tọa độ trọng tâm.
Chứng minh các điểm thẳng hàng: Sử dụng tính chất đồng quy của ba đường trung tuyến để chứng minh các điểm thẳng hàng.
Tính độ dài đường trung tuyến: Áp dụng các công thức và định lý liên quan đến đường trung tuyến để tính độ dài của chúng.

4. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có trung điểm M của BC, N của AC, P của AB. Gọi G là trọng tâm của tam giác. Chứng minh rằng AG = 2GM.

Lời giải:

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC, nên G nằm trên đường trung tuyến AM.
Theo tính chất trọng tâm, ta có AG = 2GM.

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 6cm, AC = 8cm. Tính độ dài đường trung tuyến AM.

Lời giải:

Áp dụng định lý Pitago vào tam giác ABC, ta có BC = √(AB² + AC²) = √(6² + 8²) = 10cm.
Vì M là trung điểm của BC, nên BM = MC = BC/2 = 5cm.
Áp dụng định lý về đường trung tuyến trong tam giác vuông, ta có AM = BC/2 = 10/2 = 5cm.

5. Luyện tập

Để củng cố kiến thức về tính chất ba đường trung tuyến của tam giác, các em hãy tự giải các bài tập sau:

Bài 1: Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AM là đường trung tuyến.
Bài 2: Cho tam giác ABC, G là trọng tâm. Biết AG = 9cm. Tính độ dài GM.
Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A, AM là đường trung tuyến. Chứng minh rằng AM là đường cao và đường phân giác.

6. Kết luận

Bài 7. Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác là một bài học quan trọng trong chương trình Toán 7. Việc nắm vững kiến thức về đường trung tuyến và tính chất của chúng sẽ giúp các em giải quyết các bài toán hình học một cách hiệu quả hơn. Chúc các em học tốt!