Bài 9. Tính chất ba đường phân giác của tam giác

1. Giới thiệu chung

Trong hình học, đường phân giác của một góc trong tam giác là đoạn thẳng nối đỉnh của góc đó với điểm trên cạnh đối diện sao cho chia cạnh đó thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề của góc đó. Bài 9 trong SGK Toán 7 - Chân trời sáng tạo tập 2 tập trung vào việc khám phá và chứng minh các tính chất quan trọng của ba đường phân giác trong một tam giác.

2. Nội dung bài học

Bài học này bao gồm các nội dung chính sau:

Định nghĩa đường phân giác của tam giác: Đường phân giác của một tam giác là đoạn thẳng nối đỉnh của tam giác với điểm trên cạnh đối diện sao cho chia cạnh đó thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề của đỉnh đó.
Tính chất của ba đường phân giác trong một tam giác: Ba đường phân giác của một tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm đồng quy này được gọi là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác.
Cách xác định tâm đường tròn nội tiếp: Tâm đường tròn nội tiếp là giao điểm của ba đường phân giác.
Ứng dụng của tính chất ba đường phân giác: Giải các bài toán liên quan đến tính độ dài đoạn thẳng, chứng minh tính đồng quy của các đường thẳng.

3. Các định lý và tính chất quan trọng

3.1. Định lý về tính chất đường phân giác

Nếu AD là đường phân giác của tam giác ABC (D thuộc BC) thì:

AB/AC = BD/DC

Định lý này là nền tảng để giải quyết nhiều bài toán liên quan đến đường phân giác.

3.2. Tính chất ba đường phân giác đồng quy

Ba đường phân giác của một tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác.

4. Phương pháp giải bài tập

Để giải các bài tập liên quan đến bài 9, các em có thể áp dụng các phương pháp sau:

Sử dụng định lý về tính chất đường phân giác: Áp dụng định lý để tính tỉ số giữa các đoạn thẳng trên cạnh của tam giác.
Chứng minh ba đường phân giác đồng quy: Sử dụng tính chất ba đường phân giác đồng quy để chứng minh các đường thẳng đồng quy tại một điểm.
Vận dụng kiến thức về tam giác cân, tam giác đều: Trong các tam giác đặc biệt, đường phân giác đồng thời là đường cao và đường trung tuyến.

5. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 9cm, BC = 12cm. AD là đường phân giác của góc BAC (D thuộc BC). Tính độ dài BD và DC.

Giải:

Áp dụng định lý về tính chất đường phân giác, ta có:

AB/AC = BD/DC

6/9 = BD/DC

BD/DC = 2/3

Mà BD + DC = BC = 12cm. Suy ra BD = 8cm và DC = 4cm.

6. Bài tập luyện tập

Cho tam giác ABC có AB = 5cm, BC = 7cm, CA = 8cm. Gọi I là giao điểm của các đường phân giác. Tính tỉ số AI/IE (E là trung điểm BC).
Chứng minh rằng trong một tam giác đều, ba đường phân giác trùng với ba đường cao.
Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 3cm, AC = 4cm. Gọi D là chân đường phân giác kẻ từ A. Tính BD và CD.

7. Kết luận

Bài 9. Tính chất ba đường phân giác của tam giác là một bài học quan trọng trong chương trình Toán 7. Việc nắm vững các định lý và tính chất liên quan sẽ giúp các em giải quyết các bài toán hình học một cách hiệu quả. Chúc các em học tập tốt!